Matematicas (Nivel 2)

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Ciclo 4

Pendiente - Sistemas De Ecuaciones Con Dos Incógnitas

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Mon, May 3, 2021 4:38 PM

PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

La pendiente indica el grado de inclinación de una recta

La  gráfica representa el crecimiento de un árbol durante un año.

En la gráfica observamos que cada pedazo tiene su propia inclinación.
Ahora contesta:
¿En cuáles meses se produjo el mayor crecimiento del árbol?
¿Fue uniforme el crecimiento del árbol?
¿En cuáles meses se produjo el menor crecimiento del árbol?


Para ver qué tan inclinada está una recta, es decir, “qué tan pendiente” está una recta, procedemos así:
Tomamos dos puntos de ella, por ejemplo los puntos P(2,3) y Q(4,6) y tracemos una recta que pase porestos puntos.(recta de color rojo)

En el triángulo rectángulo que se forma, establecemos la razón entre sus catetos opuesto y adyacente al ángulo QPR y la llamamos  pendiente que se simboliza por m.
Esto es: 

Si    P=(x1, y1) = (2,3)    y     Q=(x2, y2)=(4,6) ,entonces

   
En general, si llamamos (x1 , y1) a  P  y   (x, y2) a Q,
Esto es: (x1, y1) = P     y    (x2,y2) = Q,
expresaremos la pendiente  así:

  La pendiente m sirve para determinar la ecuación de la recta.

 

En una función lineal y = mx  o en una función afín y = mx + b, la constante de proporcionalidad m corresponde a la pendiente de la recta mediante la cual se representa la función.

Para representar las rectas, primero se ubica el punto dado y a partir de allí, se realizan los desplazamientos horizontal y vertical que indique la pendiente, así:

Ecuación de la recta conocido la pendiente y un punto

Cuando se conocen la pendiente (m) y un punto (x1 , y1 ), puede utilizarse la expresión algebraica de la pendiente para determinar la ecuación de una recta.

 

La expresión (y-y1) = m(x-x1) recibe el nombre de ecuación punto- pendiente.

 

Para el caso de la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene pendiente – 1/4, se reemplazan estos valores

en la expresión general de ecuación punto-pendiente  y se obtiene:                   

 

Como la pendiente de una recta es la inclinación que tiene con respecto al eje positivo de las x. La pendiente -1/4 indica que esta disminuye una unidad en y por cada cuatro unidades en x.

Ejemplo

La ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 5) y tiene pendiente 2 se obtiene de la siguiente manera:

              (y-5) = 2[x-(-3)

                y-5 = 2x+ 6

                  y = 2x+6+5

                   y= 2x+11

para elaborar la grafica como ya conocemos un punto hallamos otro utilizando la ecuación de la recta encontrada.

Si   x=- 5, entonces:    y= 2x+11   y= 2(-5)+11    y= -10+11    y=1                

                 

Ecuación de la recta cociendo dos puntos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas.

Analicemos si las dos rectas: y = 3x + 1     y        2y = 6x + 4 son paralelas.

La pendiente de la recta y = 3 x + 1 es  m1 = 3  

Ahora, veamos cómo es la pendiente de la ecuación 2y = 6x + 4.

Despejando la incógnita y tenemos:

Como 2y = 6x + 4  es equivalente a    y= 3x+2

y su pendiente es m2 = 3, concluimos son paralelas.

 

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas 

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas.

Ejemplo

3x+2y=1

x−5y=6

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas  x   y

Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones, cada una de ellas con dos incógnitas, puede ser que al graficarlas resulten:

Paralelas, lo que significa que no tienen puntos comunes, entonces no tienen solución. Inter secantes en un punto es decir que se corten en un punto y ese punto es la solución de ellas porque nos da el valor para cada incógnita. Que coincidan en todos los puntos, entonces son la misma ecuación y tendrán infinitas soluciones.

Existen varios métodos para la solucionar un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y pueden utilizarse cualquiera de ellos. Estos métodos son: Gráfico, por sustitución, por igualación o por reducción.

 

Método gráfico

El método gráfico consiste en trazar la gráfica que corresponde a cada ecuación, en el plano cartesiano, determinar el punto en que se cortan dichas gráficas, que es su solución y que pertenece simultáneamente a las dos rectas trazadas.

Ejemplo.

En la compra de un cuaderno y un lapicero se pagan $8.000, ¿cuál es el precio de cada artículo, si la diferencia de ambos es de $2.000?

 Organicemos lo datos:

solución

 Sea    X= Precio del cuaderno      y= Precio del lapicero

Las ecuaciones son:

x + y = 8.000 (Ecuación 1)

x – y = 2.000 (Ecuación 2)

Estas dos ecuaciones son las que representan la situación del problema.

Las ecuaciones 1 y 2 forman un sistema de ecuaciones de primer grado, 

Analicemos cómo se resuelve el sistema de ecuaciones que representan la situación del problema,por método gráfico:

x + y = 8.000

x – y = 2000

Observemos que las gráficas de las ecuaciones se cortan en 

x= 5.000   y    y = 3.000

En el sistema que representa la situación del problema, se sustituyen las dos variables por los valores hallados, para comprobar que la solución es correcta.

Reemplazamos en la ecuación 1:

x + y = 8,000

5,000 + 3,000 = 8,000

8,000 = 8,000

Reemplazamos en la ecuación 2

x – y = 2,000

5,000 – 3,000 = 2,000

2, 000 = 2,000

De acuerdo con lo anterior, el precio de cada artículo es: Cuaderno: $5,000 y lapicero: $3,000

Los invito a ver el vídeo  del profe  Álvaro del IMA

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Método por sustitución

El procedimiento del método de sustitución consiste en:

1. Despejar una variable en función de la otra, en alguna de las dos ecuaciones.

 2. Sustituir la variable despejada en la otra ecuación.

 3. Resolver la ecuación resultante, y encontrar el valor de una variable.

 4. Sustituir el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema, para encontrar el valor de la otra variable.

5. Comprobar en ambas ecuaciones los valores encontrados

Ejemplo.

 

 

En la mesa A se sirvieron 3 jugos de frutas y 2 limonadas y se pagaron $13.500.

En la mesa B se sirvieron 2 jugos y una limonada, la cuenta fue de $8.500.

 ¿Cuál es el valor de un jugo y cuál el valor de una limonada?

  Sea j= El precio del jugo y   l= El precio de la limonada.

 La ecuación para la mesa A es: 3 j + 2 l = 13.500 Ecuación 1

La ecuación para la mesa B es: 2 j + 1 l = 8.500 Ecuación 2

 

Despejamos la incógnita l en Ecuación 2: l = 8.500 – 2 j

Reemplazamos o sustituimos en Ecuación 1 el valor encontrado para I

 3j + 2(8,500 – 2j) = 13.500

 3j + 17,000 – 4 j = 13 500

3j – 4 j = 13.500 – 17 000

 –j = – 3.500 j = 3.500

 Ahora reemplazamos el valor de j en Ecuación 1:

3 j + 2 l = 13.500

3(3.500) + 2 l = 13.500

7.000 +2 l = 13.500 2 l = 13.500 – 7.000

2 l = 6.500

 l = 6.500/2

 l =3.250                  El precio de un jugo es $3.500 y el de una limonada $3.250

 

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Método por igualación

El procedimiento del método de igualación consiste en:

 1. Se despeja en ambas ecuaciones la misma incógnita.

 2. Se Igualan los segundos miembros y se halla el valor de una incógnita.

3. Se sustituye este valor en alguna de las ecuaciones para hallar el valor de la otra incógnita.

 4. Se comprueban los valores encontrados en las dos ecuaciones.

Ejemplo.

Isidro y Juan sembraron maíz en parcelas contiguas. Si juntas miden 860 m2 de área

y la parcela de Isidro mide 120 m2 más que la de Juan, ¿cuál es el área de cada parcela?

Solución: Se simbolizan las incógnitas con variables:

  x = área parcela de Isidro

  y = área parcela de Juan

 Planteando el problema por medio de un sistema de ecuaciones se tiene:

 x + y = 860

 x = y + 120

Si se despeja en ambas ecuaciones la misma incógnita, se tendrá:

 x = 860 – y      x = y + 120

Como el primer miembro en ambas ecuaciones es el mismo, en este caso es x, se igualan los segundos miembros y se halla el valor de una incógnita.

x = 860 – y 

x = y + 120

De aquí concluimos que             860 – y = y + 120

                                                860 –120 = y + y

                                                       740   = 2y

                                                       740/2 = y              Luego y= 370

 

Al sustituir el valor de y en alguna de las dos ecuaciones se encuentra el valor de la otra incógnita.

 x = y + 120

x = 370 + 120

x = 490                Por tanto, la parcela de Isidro mide 490 m2 y la de Juan 370 m2 .

Al comprobar los valores encontrados en las dos ecuaciones, se tiene:

x     +   y    =   860                                             x    =   y + 120

490 + 370 =   860                                          490   = 370 +120

    860      =    860                                            490 = 490

 

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 Dar click→    Método de igualación

Método de reducción

El procedimiento general del método de reducción o cancelación consiste en:

1. Se determina la incógnita que va a eliminarse

2.  Se multiplica convenientemente una o las dos ecuaciones para poder reducirlas

3.  Se reducen las ecuaciones sumando entre sí los términos semejantes y los valores numéricos

4. Se soluciona la ecuación

5. Se reemplaza el valor de la variable en una de las ecuaciones:

Ejemplo

Martha va al supermercado y compra 4 kg de café y 2 kg de azúcar por $ 10.000. Días después, nota que no fue suficiente, así que vuelve al supermercado a comprar 1 kg de café y 2 kg de azúcar por   $ 4.000

 ¿Cuánto cuesta 1 kg de cada producto?

Solución.

Sea C: el precio de un kilogramo de café       y       A: el precio de un kilogramo de azúcar

 Se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:

1.En este caso se elimina la C.

2. Para este caso, se multiplica la segunda ecuación por -4. Con lo cual el sistema se transforma en:  

4C + 2A=10.000

 C + 2A= 4.000

3. Se reducen las ecuaciones de esta manera:

En este caso, la incógnita C se eliminó de la expresión y el resultado de la reducción es una ecuación con una sola incógnita que es A

4. Se soluciona la ecuación así:

-6A = - 6.000          

        Luego A=1.000

5. Se reemplaza el valor A = 1.000 en la ecuación:  C+2A=4.000

 

 entonces C+2(1.000) =4         C+2.000=4.000         C=4.000 – 2.000 por lo tanto   C= 2.000

Así que un kilogramo de azúcar cuesta $ 1.000 y un kilogramo de café cuesta $ 2.000

Los invito a ver el siguiente video

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Actividad

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m en cada caso.

 

     a.    P(-7,4)  y  m=5          b. P(-1,7)  y  m= -2        c.  P(5,6)  y  m=3

      2. Hallar la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos.

                a. (1, -5) y (-2, 1)       b. (2, 14) y (-1, -7)        c. (-2, -2) y (0, 10)       d. (-3, 5) y (-4, -1)

 

3.Calcula la pendiente de cada recta. Luego, encuentra su ecuación considerando los puntos que   pertenecen a ella.

 

 

4.Determina, gráficamente, el tipo de solución                                  5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

  de cada uno de los siguientes sistemas de                                    con el método de sustitución.

  ecuaciones:

                                                                        

6. Resuelver   por el método de igualación.                                      7. Determina su solución aplicando reducción  

 

                                                                                                        

6.Marta y sus amigos pagaron $10.900 por 5 libros y 7 cuadernos. Si la semana anterior compraron 8 libros y 11 cuadernos y la cuenta fue de $17.300, ¿cuánto cuesta cada libro y cuánto cuesta cada cuaderno?