Matematicas (Nivel 2)

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Ciclo 4

Funciones Y Ecuaciones Cuadráticas

2244

Mon, May 3, 2021 4:39 PM

 

 

 

Son funciones de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Su formula es  f(x) = ax² + bx + c  , donde a, b y c, son valores constantes, a≠0
Ejemplos:

        f(x) =    3x2 -2x +4  →  a=3,    b=-2,     c=4
        f(x) =   -4x2-6x +9   → a=-4,    b=-6,    c=9

        f(x) =   5x2 -7           →  a=5,     b=0,     c= -7 
        f(x)= 6x2 + 3x        →   a=6,     b=3,     c=0

 
Representación gráfica de la parábola

Como son infinitos puntos los que forman una gráfica, 

podemos construir una parábola a partir de estos puntos claves que:

se presentan a continuación

1. Vértice: Se halla con esta fórmula

Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

2. Puntos de corte con el eje X

En el eje de  y  es cero, por lo que tendremos:

   ax² + bx + c = y  ,como y= 0 entonces   ax² + bx + c = 0      

Para hallar los cortes en el eje x las formas  más comunes es factorizando  o utilizando la  fórmula cuadrática

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»D«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»p«/mi»«mi»u«/mi»«mi»e«/mi»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»o«/mi»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mi»e«/mi»«mi»n«/mi»«mi»e«/mi»«mi»r«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»h«/mi»«mi»a«/mi»«mi»s«/mi»«mi»t«/mi»«mi»a«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»a«/mi»«mi»l«/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0)    si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0)             si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

 

3. Punto de corte con el eje Y

En el eje de ordenadas (eje  y) la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a(0)² + b(0) + c = c        (0,c)

Ejemplo

 

Representar la función

 f(x) = x² − 4x + 3    

 De la función se tiene :   a=1      b=-4   c=3

1. Vértice                                «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#160;«/mo»«mi»L«/mi»«mi»u«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»l«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»v«/mi»«mi»§#233;«/mi»«mi»r«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»c«/mi»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»e«/mi»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

2. Puntos de corte con el eje X

             x² − 4x + 3 = 0
Hallemos los valores  de x por los dos métodos
° Factorizando= Se abren  los paréntesis colocando la raíz cuadrada de x2   en ambos, y se buscan dos números que al multiplicarlos de c=3 y al sumarlos de b=-4 
  x² − 4x + 3 = ( x-3)( x-1)=0,    Para que la función de cero entonces x=3    y/o    x=1       
° Utilizando la formula cuadrática:

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3. Punto de corte con el eje Y 

     y= x² − 4x + 3       y= 02-2(0) +3  

                                    y= 0  -  0  + 3
                                    y =3     Por lo tanto el punto es (0,3)

Si se desea hallar más puntos de la parábola,le damos valores a  x  y los reemplazamos en  la función  f(x) =  x² − 4x  + 3    así :  

  f(-2)= (-2)2 -4(-2) + 3            f(-1) =(-1)² −  4(-1) +  3                     

         =   4   +     8 +   3                        =   1      +   4    +   3

         = 15                                              =    8

f(4) =4² −  4(4) +  3                  f(5) =5² −  4(5) +  3          

         = 16  -   16    + 3                           = 25   -  20  +   3

          =   3                                               =    8   

Ubicamos los puntos hallados en una tabla de datos
Tabla de datos
      x       0            1  3  2     -2     -1      4   5
    f (x)       3         0  0  1     15       8      3   8


En la gráfica solo se resaltan los puntos claves   

 

Gráfica

Observen los siguiente vídeos

Función cuadrática

Func.cuadrat.

 

 

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

 

Una ecuación que pueda expresarse en la forma: ax2 + bx + c = 0,  en donde a, b y c son números reales,y  a ≠ 0  se llama ecuación cuadrática o de segundo grado.

Ejemplos: 

a)  4x2 - 9 = 9       b) 5x2 - 20 = 0         c) x2 - 2x = 0         d) –8x2 = 1

e)  6x2 -6x +4     f)   7x2 +5x -3

 

 

Una ecuación que tiene todos sus términos se llama completa y si le falta

 

 

alguno se llama incompleta. Así, en los ejemplos anteriores, las ecuaciones:a,b,c y d son completas y las ecuaciones e  y  f, 5 son incompletas 

Solución de una ecuación de segundo grado por factorización

 El empleo de la factorización para resolver ecuaciones de segundo grado se basa en:  El producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero:

“a x b = 0,  entonces  a = 0  v  b = 0” 

Ejemplos 1. Resolvemos la ecuación  x2 + 3x – 10 =0 

Solución:  x2 + 3x – 10 = 0            se factoriza así:  

               (         )(           )= 0   Ubicamos  los paréntesis igualando a cero

               ( x       ) ( x      )=0   Ubicamos la «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» en ambos paréntesis

               ( x +     ) ( x  -    )=0    Se aplica ley de signos para colocar signos.

                ( x+5   ) ( x - 2 )=0                                      

 x + 5 = 0        ,ó,       x - 2 = 0  Aplicando propiedad de  axb=0

 x = -5             ,ó,       x = 2   Pasando el valor constante al otro lado de la                                                        igualdad con signo contrario

 

Ejemplo 2         x2 - 3x + 2 = 0 

                      (x – 2) (x – 1)  = 0       

               x – 2 = 0   ó    x – 1 = 0            

                     x = 2      ó        x = 1

 

Ejemplo3        x2 + 8x + 15 = 0 

                      (x + 5) (x + 3)  = 0   

                x + 5 = 0   ó  x + 3 = 0        

                     x = -5    ó   x = -3      

 

  Solución de la ecuación cuadrática incompleta 

La ecuación ax2 - c  = 0   es incompleta, pues no contiene ningún término de primer grado 

La ecuación ax2 - c  = 0  es equivalente a  ax2 = c, y, por tanto,  x2 = c/a

 Las soluciones de la última ecuación son las dos raíces cuadradas de c/a  siempre que  c/a> 0.  En consecuencia las soluciones son:

                                    «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«msqrt»«mfrac»«mi»c«/mi»«mi»a«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»

Ejemplos 

Hallar el conjunto solución de la ecuación  4x2 – 9 =0

Solución. 

4x2 – 9 = 0

 4x2 = 9

x2 =  9/4,  como  9/4 > 0, extrayendo raíces cuadradas, tenemos:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/msqrt»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»u«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msqrt»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«msqrt»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»

El conjunto solución es  S =  {3/2,  -3/2}

 

 Hallar  el conjunto solución,  S,  de:   2x2 – 18 = 0

Solución:   2x2 = 18

                    x2 = 18/2

                   x2  = 9  ,   como 9 > 0,  extrayendo raíces cuadradas tenemos:

                 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»9«/mn»«/msqrt»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»l«/mi»«mi»u«/mi»«mi»e«/mi»«mi»g«/mi»«mi»o«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»9«/mn»«/msqrt»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«msqrt»«mn»9«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»      

El conjunto solución        S = {3, -3}

 

Hallar el conjunto solución,, de la ecuación  x2 + 4 = 0

 

x2 + 4 = 0 

x2 =  -4  Como – 4 < 0  no existe un número real x tal que  x2 = -4,  por tanto no existe conjunto solución.

 

Solución de la ecuación incompleta  a x2 + bx = 0 

La ecuación  a x2 + bx = 0  es equivalente a  x(ax + b) = 0

 Sabemos que si el producto de los números reales es otra, entonces al menos uno de ellos es cero.

 Por tanto el conjunto solución, S,  es el siguiente: 

S = {x/x = 0}  U  {x/ax + b = 0}

                         0 {0,+ -b/a}

 

Ejemplos:       Al hallar el conjunto solución S de la ecuación x2 - 2x = 0

Solución   x2 - 2x = 0  

                  x  (x-2) = 0     Factorizando

                 x = 0   y    x – 2 = 0   Cada término se iguala a cero

                                         x = 2      Luego     S = {0,2}

 

Hallar el conjunto solución S  de la ecuación  x2 - 9x = 0 

Solución:      x2- 9x = 0

                          x (x - 9) = 0

                    x = 0    y     x – 9 = 0 

                                         x = 9           S = {0,9}

  

Hallar el conjunto solución, S,  de la ecuación  6 x2 -11 x = 0 

                     6x2 - 11x = 0

                    x (6x -11) = 0

           x = 0      y      6x - 11 = 0  

                                    x = 11/6           S = {0, 11/6}

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Andrea es 4 años mayor que Juan. Si el producto de sus edades es 45,

 ¿cuál es la edad de Juan?

Supongamos que x es la edad de Juan

Como Andrea es 4 años mayor, entonces su edad podemos representarla

con la expresión x+4, ademas el problema plantea que el producto de las edades de Andrea y Juan  es igual a 45,por lo tanto se escribe:

x(x+4) = 45

x2 + 4x= 45 (Efectuando el producto)

x2 + 4x- 45=0  (Igualando a cero)

(x+9)(x-5) =0  (Factorizando)

Para que el producto de los dos paréntesis sea cero(0),uno de los dos factores debe ser cer0(0), o los dos.Luego:

x+9= 0      →    x = -9         y        x-5=0    →    x= 5

Como x representa la edad de Juan, se descarta  x = -9,

y se acepta     x= 5, por lo tanto la edad de Juan es 5 años y la edad

de Andrea es  x+4  =5+4= 9

Luego la edad de Juan es 5 años y la de Andrea 9 años

 

 

La semana pasada compramos berenjenas a un precio de 2,7 $/kg y patatas a un precio de 0, 7 $/kg pagando por ellas un total de $15,1

Sin embargo, esta semana hemos pagado $18 por una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de $2 por kilo de berenjenas y $1,2  por kilo de patatas.

Calcular la cantidad de hortalizas que se compran.

Solución

Si  ey son las cantidades de berenjenas y patatas, respectivamente, la compra de la semana pasada puede descomponerse como

Resolvemos problemas mediante sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.	Los métodos que se utilizan para resolver cada uno de los sistemas son sustitución, igualación y reducción. Álgebra. Secundaria. Matemáticas.

Y la de esta semana como

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El sistema del problema es

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Como en ambas ecuaciones hay números con decimales, las multiplicamos por 10 para que los números sean enteros y trabajar más cómodamente:

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Resolvemos el sistema por igualación despejando la x en las dos ecuaciones para igualarlas.

Primera ecuación:

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Segunda ecuación:

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Igualamos las incógnitas y resolvemos la ecuación:

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Calculamos la otra incógnita usando alguna de las ecuaciones anteriores:

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Por tanto, las cantidades de hortalizas son 3kg de berenjenas y 10kg de patatas.