Funciones Y Ecuaciones Cuadráticas
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Función cuadrática
Son funciones de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Su formula es f(x) = ax² + bx + c , donde a, b y c, son valores constantes, a≠0
Ejemplos:
f(x) = 3x2 -2x +4 → a=3, b=-2, c=4
f(x) = -4x2-6x +9 → a=-4, b=-6, c=9
f(x) = 5x2 -7 → a=5, b=0, c= -7
f(x)= 6x2 + 3x → a=6, b=3, c=0
Representación gráfica de la parábola
Como son infinitos puntos los que forman una gráfica,
podemos construir una parábola a partir de estos puntos claves que:
se presentan a continuación
1. Vértice:
La primera coordenada del vértice de la parábola f(x) = ax2 + bx + c es:
Y la segunda coordenada es su imagen:
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
2. Puntos de corte con el eje X
Cuando y=0 la ecuación queda
ax² + bx + c = y ,como y= 0 entonces ax² + bx + c = 0
Para hallar los cortes en el eje x las formas más comunes es factorizando o utilizando la fórmula cuadrática
Formula cuadratica:
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje Y
Para hallar el punto de corte en el eje Y, le damos a x el valor decero(x=0)
f(x)= ax² + bx + c
f(0) = a(0)² + b(0) + c = c (0,c)
Ejemplo
Representar la función
f(x) = x² − 4x + 3
De la función se tiene : a=1 b=- 4 c=3
1. Vértice
Luego el vértice es el punto (2,-1)
2. Puntos de corte con el eje X
x² − 4x + 3 = 0
Hallemos los valores de x por los dos métodos
Factorizando: Se abren los paréntesis colocando la raíz cuadrada de x2 en ambos, y se buscan dos números que al multiplicarlos de c=3 y al sumarlos de b=- 4
x² − 4x + 3 = ( x-3)( x-1)=0, Para que la función de cero entonces x=3 y/o x=1
Utilizando la formula cuadrática:
3. Punto de corte con el eje Y
y= x² − 4x + 3 → y = 02 - 2(0) +3
y = 0 - 0 + 3
y =3 Por lo tanto el punto de corte en el eje Y es (0,3)
Si se desea hallar más puntos de la parábola,le damos valores a x y los reemplazamos en la función f(x) = x² − 4x + 3 así :
f(-2)= (-2)2 -4(-2) + 3 f(-1) =(-1)² − 4(-1) + 3
= 4 + 8 + 3 = 1 + 4 + 3
= 15 = 8
f(4) =4² − 4(4) + 3 f(5) = 5² − 4(5) + 3
= 16 - 16 + 3 = 25 - 20 + 3
= 3 = 8
Ubicamos los puntos hallados en una tabla de datos
| x | 0 | 1 | 3 | 2 | -2 | -1 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f (x) | 3 | 0 | 0 | -1 | 15 | 8 | 3 | 8 |
En la gráfica solo se resaltan los puntos claves
Observen los siguiente vídeos
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación que pueda expresarse en la forma: ax2 + bx + c = 0, en donde a, b y c son números reales,y a ≠ 0 se llama ecuación cuadrática o de segundo grado.
Ejemplos:
a) 4x2 - 9 = 9 b) 5x2 - 20 = 0 c) x2 - 2x = 0 d) –8x2 = 1
e) 6x2 -6x +4=0 f) 7x2 +5x -3=6
Una ecuación que tiene todos sus términos se llama completa y si le falta alguno se llama incompleta. Así, en los ejemplos anteriores, las ecuaciones:a,b,c y d son incompletas y las ecuaciones e y f, 5 son completas
Solución de una ecuación de segundo grado por factorización
El empleo de la factorización para resolver ecuaciones de segundo grado se basa en: El producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero:
“a x b = 0, entonces a = 0 v b = 0”
Ejemplos 1. Resolvemos la ecuación x2 + 3x – 10 =0
Solución: x2 + 3x – 10 = 0 se factoriza así:
( )( ) = 0 Ubicamos los paréntesis igualando a cero
( x ) ( x ) = 0 Ubicamos la x(equis) en ambos paréntesis
( x + ) ( x - ) =0 El primer signo se coloca igual y el segundo se aplica ley de signos
( x+ 5 ) ( x - 2 )=0 Dos números que multiplicados den 10 y restados 3
x + 5 = 0 ,ó, x - 2 = 0 ( Aplicando propiedad de axb=0)
x = - 5 ,ó, x = 2 Pasando el valor constante al otro lado de la igualdad con signo contrario
Ejemplo 2 x2 - 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x – 2 = 0 ó x – 1 = 0
x = 2 ó x = 1
Ejemplo3 x2 + 8x + 15 = 0
(x + 5) (x + 3) = 0
x + 5 = 0 ó x + 3 = 0
x = -5 ó x = -3
Solución de la ecuación cuadrática incompleta
La ecuación ax2 - c = 0 es incompleta, pues no contiene ningún término de primer grado
La ecuación ax2 - c = 0 es equivalente a ax2 = c, y, por tanto, x2 = c/a
Las soluciones de la última ecuación son las dos raíces cuadradas de c/a siempre que c/a> 0. En consecuencia las soluciones son:
Ejemplos
Hallar el conjunto solución de la ecuación 4x2 – 9 =0
Solución.
4x2 – 9 = 0
4x2 = 9
x2 = 9/4, como 9/4 > 0, extrayendo raíces cuadradas, tenemos:
El conjunto solución es S = {3/2, -3/2}
Hallar el conjunto solución, S, de: 2x2 – 18 = 0
Solución: 2x2 = 18
x2 = 18/2
x2 = 9 , como 9 > 0, extrayendo raíces cuadradas tenemos:
El conjunto solución S = {3, -3}
Hallar el conjunto solución,, de la ecuación x2 + 4 = 0
x2 + 4 = 0
x2 = -4 Como – 4 < 0 no existe un número real x tal que x2 = -4, por tanto no existe conjunto solución.
Solución de la ecuación incompleta a x2 + bx = 0
La ecuación a x2 + bx = 0 es equivalente a x(ax + b) = 0
Sabemos que si el producto de los números reales es otra, entonces al menos uno de ellos es cero.
Por tanto el conjunto solución, S, es el siguiente:
S = {x/x = 0} U {x/ax + b = 0}
0 {0,+ -b/a}
Ejemplos: Al hallar el conjunto solución S de la ecuación x2 - 2x = 0
Solución x2 - 2x = 0
x (x-2) = 0 Factorizando
x = 0 y x – 2 = 0 Cada término se iguala a cero
x = 2 Luego S = {0,2}
Hallar el conjunto solución S de la ecuación x2 - 9x = 0
Solución: x2- 9x = 0
x (x - 9) = 0
x = 0 y x – 9 = 0
x = 9 S = {0,9}
Hallar el conjunto solución, S, de la ecuación 6 x2 -11 x = 0
6x2 - 11x = 0
x (6x -11) = 0
x = 0 y 6x - 11 = 0
x = 11/6 S = {0, 11/6}
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
- Andrea es 4 años mayor que Juan. Si el producto de sus edades es 45,
¿cuál es la edad de Juan?
Supongamos que x es la edad de Juan
Como Andrea es 4 años mayor, entonces su edad podemos representarla
con la expresión x+4, ademas el problema plantea que el producto de las edades de Andrea y Juan es igual a 45,por lo tanto se escribe:
x(x+4) = 45
x2 + 4x= 45 (Efectuando el producto)
x2 + 4x- 45=0 (Igualando a cero)
(x+9)(x-5) =0 (Factorizando)
Para que el producto de los dos paréntesis sea cero(0),uno de los dos factores debe ser cer0(0), o los dos.Luego:
x+9= 0 → x = -9 y x-5=0 → x= 5
Como x representa la edad de Juan, se descarta x = -9,
y se acepta x= 5, por lo tanto la edad de Juan es 5 años y la edad
de Andrea es x+4 =5+4= 9
Luego la edad de Juan es 5 años y la de Andrea 9 años
2) El área de la cancha de la Figura es 195 m2
¿Cuáles son las dimensiones de la cancha?
Solución: La expresión algebraica correspondiente del área de la cancha es: (x + 1)(x + 3) = 195, que es equivalente a x2 + 4x - 192 = 0. Si se quiere resolver la ecuación, se puede usar la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática. De este modo de la ecuación se tiene que
a=1, b=4 y c= -192, si se remplaza en la formula cuadrática se tiene:
Se observa que solo x =12 satisface las condiciones del problema.
por lo tanto se tiene: largo= x+3 = 12+3= 15
Ancho= x+1 = 12+1=13
Las dimensiones de la cancha son 13 m y 15m
Representa las siguientes funciones.
a. x2 + 3x - 10 = 0 b. x2 - 3x - 4 = 0
La ecuación cuadrática que se relaciona con la siguiente parábola es
A. x2 - x - 2 =0 B. x2 +x + 1 = 0 C. x2 - x - 2 = 0 D. x2 - x - 1 =0
El largo de una sala rectangular es 3 m mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica.
¿Cuál es el área original de la sala?
A. 48 m2 B. 24 m2 C. 42 m2 D. 40 m2
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. x2 - 4 = 0 b. x2 + 2 = 0
c. 3x2 + x = 0 d. 4x2 - 2x =0
e. x2+5 =x f. 4x2 + 2x - 3 = 8