GEOMETRÍA

GEOMETRÍA

Criterio de semejanza de triángulos

Cuerpos redondos - poliedros

 

Medición y construcción de ángulos

Un ángulo es una figura geométrica que se forma por la abertura de dos semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto común se llama vértice.

Para nombrar un ángulo, se marca sobre cada lado, un punto y se leen los puntos, de tal manera, que la letra que indica el vértice, quede en el centro:

ABC. Se puede nombrar también mediante la letra que indica el vértice o mediante un número.

 

Para medir la amplitud de un ángulo se utiliza el transportador.

Se hace coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo, y el cero, con uno de sus lados. Luego se observa la medición que marca el otro lado.

Ángulos congruentes: cuando los ángulos tienen la misma medida se dice que son  congruentes

Clasificación de ángulos.

Los ángulos se pueden clasificar según su medida, según la suma de sus medidas y según su posición.

Según sus medidas o amplitud.

Según la suma de sus medidas

Según su posicición

 

Ángulos determinados por dos paralelas y una secante.

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman ocho ángulos.

Estos ángulos reciben diferentes nombres de acuerdo con la posición que ocupan.

Ángulos colaterales. Son los que están a un mismo lado de la secante

Ángulos internos. Son los que están entre las líneas paralelas.

 

 

Ángulos alternos externos. Son ángulos externos, no colaterales, ni adyacentes,

Los ángulos alternos externos son congruentes

Ángulos alternos internos. Son ángulos 
internos, no colaterales, ni adyacentes

 

Ángulos alternos externos. Son ángulos  externos, no colaterales, ni adyacentes.

Los ángulos alternos externos son congruentes

 

Ángulos correspondientes. Uno es interno, otro es externo, son colaterales, pero no adyacentes.

Los ángulos correspondientes son congruentes.

Ejemplo

Si en el gráfico,  2 = 40°, hallar la medida de los demás ángulos.

Solución.

 1 = 180° – 40°  = 140° por ser adyacentes. Por lo tanto son suplementarios, así que su suma es 180°

  3 =  1 = 140°  por ser opuestos por el vértice

 4 =  2= 40°       por ser opuestos por el vértice

  5 =  3= 140°  por ser alternos internos

 6 =  4 = 40°    por ser alternos internos

  7 =  5= 140° por ser opuestos por el vértice

  8 =  4 = 40°   por ser correspondientes.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNG

Son las reglas que permiten conocer si dos triángulos son semejantes. La semejanza de figuras geométricas, incluyendo los triángulos, requiere que las figuras tengan igual forma, aunque no necesariamente tengan el mismo tamaño o la misma orientación.

Para que dos triángulos sean semejantes es preciso que: i) sus lados homólogos sean proporcionales y ii) los ángulos internos de cada uno tengan la misma medida.

Una relación proporcional o proporción entre dos cantidades a y b se representa mediante el cociente a/b, con b ≠ 0. Para los triángulos semejantes son válidas las siguientes proporciones entre sus lados:

a/a´ = b/b´ = c/c´= r

Al valor de r se le llama razón de semejanza.

Además, los correspondientes ángulos internos tienen que ser de la misma medida, por lo tanto: ∠A =∠A´; ∠B =∠B´ y ∠C =∠C´. Según estas condiciones, los criterios de semejanza de triángulos son:

Criterio 1: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos internos de igual medida. De ser así, el tercer ángulo también mide igual, ya que la suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es 180º:

α = α´; β = β´

Criterio 2: los triángulos son semejantes si dos lados homólogos son proporcionales y el ángulo entre ellos es el mismo:

a/a´ = b/b´;  α = α´

Criterio 3: los tres lados homólogos son proporcionales:

a/a´ = b/b´ = c/c´= r

Ejemplos

La semejanza de triángulos es muy útil para calcular alturas y distancias que no son fácilmente medibles de forma directa. A través de algunos cálculos sencillos, es posible averiguar estas longitudes mediante la comparación de triángulos semejantes.