CONCEPTO DE FUNCIÓN- FUNCIÓN LINEAL

PLANO CARTESIANO

El plano Cartesiano está  formado por dos rectas numéricas llamadas ejes. Estos ejes se se cruzan formando un ángulo recto (90 grados).  
Los ejes son:  Eje de las x  y el eje de las y.  Los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.

 

Cada punto en el plano  cartesiano puede representarse con un par ordenado de números  (x, y).
En el vídeo se explica la ubicación de puntos en el plano cartesiano.

Plano Cartesiano

Relación

Una relación R, definida como un conjunto A en un conjunto B, es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos

Ejemplo

Si x es un elemento de A   y   y un elemento de B, se define la relación “x es menor o igual que y”, la relación está conformada  por todas las parejas ordenadas de la forma (x, y) que cumplan la condición que define a R, así:

                                                        

R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3) (3,3)}

 Concepto de función.

Una función f es una relación definida de un conjunto A en un conjunto B, tal que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B mediante f.

La relación anterior no es función porque en el conjunto A, el número 1 está relacionado 3 veces el número 2 está relacionado dos veces y el 4 no está relacionado.

Ejemplo

 Sean A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 3, 5, 7}, y R una relación definida mediante el enunciado:

“x es el siguiente dé y, siempre que x sea un elemento del conjunto A y y,un elemento  del conjunto B.

 

   R= {(2, 1), (4, 3), (6, 5), (8, 7)}.

 De acuerdo con lo anterior, puede concluirse  que esta relación es una función.

Dominio y rango de una función

El dominio de una función f, denotado por D(f), es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente x.

El rango o recorrido de una función f, denotado por R(f), El rango de una función  es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir.

 Como los valores de y dependen de los valores de x se dice entonces que los valores de y están en función de x , y se representa así:  y = f(x)

En el siguiente ejemplo se indica el dominio, codominio, conjunto de imágenes y Regla que asocia a los conjuntos X  y Y. 

Regla: Cada elemento de X le corresponde su número multiplicado por 5. 
                                          

  Dominio: Elementos de X = {1, 2, 3, 4}
 
  Rango =Elementos de Y que están relacionados con los de X   {5, 10, 15,20}                                                        
   Parejas ordenadas {(1,5), (2,10), (3,15), (4,20)}

Ejemplo 2: Hallar el  Dominio y rango de la función  

 

 • Como la expresión de la función es un cociente, entonces estará definida para todo número real, excepto para aquel que anula el denominador. En este caso, el valor que anula el denominador es        x =1, por lo tanto, D(f)= ℝ - {1}

 • Para determinar el recorrido de la función, se despeja la variable x en términos de la variable y. Luego, se intercambian los nombres de las variables, con lo cual se obtiene la expresión.

 que estará definida para todo número real, excepto para x = 0, es decir, R(f) = ℝ - {0}.

Representación gráfica de una función

Para representar una función se determinan las coordenadas de puntos asignando valores arbitrarios a la variable x, los cuales se reemplazan en la expresión algebraica de la función para obtener los valores correspondientes de la variable y. Luego se ubican los puntos en el plano cartesiano y se traza una línea que los una, según el análisis del dominio y del rango.

Graficar la función f(x) = 3x - 1.

 Solución: Para representar gráficamente la función, puede completarse una tabla de valores como la tabla siguiente.

f(-2)= 3(-2) - 1  →   f(-2)=  - 6 - 1  →  f(-2)=  - 7

f(-1/2)= 3(-1/2) - 1  →   f(-1/2)=  - 3/2 - 1  →  f(-1/2)=  - 5/2

f(0)= 3(0) - 1    →   f(0)=  - 1  

f(2,5)= 3(2,5) - 1  →   f(2,5)=  7,5 - 1  →   f(2,5)=  6,5

 

En la tabla, se encuentran parejas de valores obtenidas al asignar a la variable x                                                              algunos valores del dominio de la función y reemplazarlos en la expresión  y= 3x - 1      

 

 

 

 Como en este caso D(f) y R(f) coinciden  con el conjunto ℝ, se traza una línea continua   para unir los puntos.  

                                                                                                       

Funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente en un intervalo I cuando, para todo a ϵ I   y  b ϵ  I  con a< b, se cumple que f(a) < f(b). Una función f es decreciente en un intervalo I cuando, para todo a ϵ I y  b ϵ I con a <b, se cumple que f(a) > f(b).

Ejemplo:

 

En la gráfica de la función, se observa que:

 • f es creciente en los intervalos [-6, 0]     y      [6, 8], pues los valores de y crecen en estos intervalos.

    f(-6) = - 5      y     f(0) = 4    por lo tanto     f(-6) <  f(0)

 • f es decreciente en [4, 6], ya que los valores de y decrecen en este intervalo.

    f(4) = 4      y     f(6) = 2    por lo tanto     f(4)  >  f(6)

 • f es constante en el intervalo [0, 4].

f(0) = 4      y     f(4) = 4    por lo tanto     f(4)  =  f(6)

 

Función lineal

 

Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es de  la forma f(x) = mx, siendo m un número real diferente de cero "0" .                             

. Algunas características de la función lineal f(x) =mx son las siguientes:

• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, es decir,  por el punto (0, 0).

• El valor de m se llama constante de proporcionalidad. Si m > 0, la función es creciente y si m < 0, la función es decreciente.

• Su dominio y su rango coinciden con el conjunto ℝ.

• Es una función continua, es decir, no presenta saltos ni interrupciones en todo su dominio.

 Ejemplo

Dada la función lineal: y = 2x, ésta puede representarse en el plano cartesiano, así:

Escribimos la expresión algebraica es y = 2x,

construimos una tabla de valores y después graficamos.

Tabla de valores                                                                             gráfica   f(x) = 2x

 

                                                     

 Veamos como se obtienen los valores de la gráfica:Se cambia la x por su respectivo valor de la tabla,así

f(x) = 2x →   f(-3) = 2(-3)  = - 6        f(-2)=2(-2) = - 4        f(-1) = 2(-1) = - 2    
                         f(0)=2(0)  = 0           f(1)= 2(1) = 2            f(2)= 2(2)  =   4 
                         f(3)=2(3 ) = 6    

 

Función afín

Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es de la forma f(x) = mx + b, siendo m y b números

reales distintos de 0.

 Las principales características de la función afín f(x) = mx + b son:

 • Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0, b). Este se denomina punto de corte con el eje de ordenadas.

 • El número m se llama constante de proporcionalidad. Si m > 0, la función es creciente y si m < 0,   la función es decreciente.

• Su dominio y su rango coinciden con el conjunto ℝ.

• Es una función continua.

Ejemplo

Para graficar una función de la forma y = mx + b , se construye una tabla dándole valores a x y determinamos los valores de y. Señalamos dichos valores en un plano cartesiano y graficamos.

Analicemos la función   y = 3x - 4 

                   

 

 Los valores de la variable dependiente  de la tabla se obtienen así:
En la ecuación   y = 3x - 4  se reemplaza la x por cada uno de los valores que se le dieron a la variable independiente;veamos como 

y= 3(-3)-4         y= 3(-2) - 4       y= 3(-1)-4       y= 3(0) - 4       y= 3(1)-4
y= -9 - 4            y= -6 - 4            y= -3 - 4          y= 0 - 4            y= 3 - 4
y=-13                 y= -10                y= -7              y=  - 4              y= -1            ( De la misma forma se halló para  x=2,  x=3  y  x= 4 )

Si la ecuación no está de la forma y = ax + b. , se puede encontrar de la forma  de ecuación  general  ax +by = c   ó  ax +by +c = 0 

 Ejemplo:  2x -3y = 12     (a=2, b=-3,c=12); cómo se grafican estas ecuaciones?

Buscamos las intersecciones con los ejes x e y.
Para determinar la intersección con el eje y, le damos el
valor de 0 a x, y despejamos y

Así por ejemplo: graficar la función 3x - 6y = -12

3x  -  6y   = -12
3(o) - 6y  = 12 ,  ( x=0)
   0 -  6y   = – 12 ,
        -6y   = – 12
          y   = -12/-6

           y= 2 
La intersección con el eje Y, ocurre en el punto (0,2)

Para determinar la intersección con el eje x, le damos el
valor de 0 a y, y despejamos x
3x  -  6y   =  – 12
 3x - 6(0) =– 12
3x   -  0    = – 12
3x = -12
x = -12/3
x= -4                   

Se ubican estos puntos en el plano cartesiano y se realiza la gráfica:

 

 La gráfica de la función  de la forma x=a, será una recta
vertical paralela al eje y
Representemos la función  X =- 3; Para cada valor de y,  x siempre será = -3:
( -3,0); ( -3,1); ( -3,2); ( -3,-1); ( -3,-3) ;

La gráfica de la ecuación de la forma f(x) = b, dará una recta
vertical paralela al eje x
Representemos f(x) = 2
Para cada valor de x, y siempre será = 2
(0,2); (-1,2); (-2,2); (3,2); (1,2) ;

El ICE (Inter City Express) es un tren de alta velocidad que conecta todas las ciudades principales de Alemania.               

Tiene conexiones internacionales a Dinamarca, los Países Bajos,  Bélgica, Francia, Suiza y Austria. Uno de sus trenes lleva una velocidad media de 270 km/h. En la Tabla se muestra la distancia D que recorre en función del tiempo t.

 

Esta situación se representa por medio de la función D(t) = 270t, cuya gráfica es una línea recta que pasa por (0, 0), como se observa en la figura. En este caso, la constante de proporcionalidad es 270.

En cierto experimento se midió la temperatura de un líquido sometido a un aumento gradual de temperatura. Los datos se muestran en la tabla

Al graficar la relación dada entre el tiempo que transcurre y la temperatura del líquido, se obtiene una línea recta

que no pasa por el origen.Esto significa que dicha relación es una función afín cuya constante de proporcionalidad es 12

 y corta el eje Y en el punto (0, 12).

Del razonamiento anterior se tiene que m =12 y b =12, con lo cual puede deducirse que la expresión algebraica

de la función es y = 12x + 12.