TEMA 1. - Números Enteros: Suma y resta

 

 

Iniciemos haciendo un recorrido por el conjunto de los números naturales.

El primer conjunto que se ha trabajado es el de los números naturales(N). 
N = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6…,}  y su representación en la recta numérica:

 

 

Con los números naturales podemos:

Contar los elementos de un conjunto

Ejemplos

 

12 es el número de países de suramérica.

 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto

 El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.

 

 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

 Mi número  en el carnet  es 40257.

En el conjunto de los números naturales, siempre son posibles las operaciones de suma y multiplicación. Sin embargo, en N  no existe solución para restas tales como 9 - 20,   13 – 48; en general, para todas aquellas restas en las que el minuendo es menor que el sustraendo.
Con el fin de hacer siempre posible la resta, es necesario ampliar el conjunto N, a otro conjunto llamado conjunto de números enteros, el cual se simboliza con la letra  Z. 
La ampliación del conjunto Nse hace con la introducción de los números enteros negativos,los cuales constituyen una forma de representar situaciones tales como deudas, temperaturas bajo cero y años antes de Cristo, entre otras.
 
Los números enteros negativos se escriben anteponiendo un signo menos a cada número natural. Estos números forman el conjunto  Z.^- . El conjunto de los números enteros negativos se determina por extensión, así:                 Z ^-  = {…, -4, -3, -2, -1}
Los números enteros positivos,  forman el con junto Z⁺que se determinan por extensión, así: Z⁺  = {1, 2, 3, 4, 5, …, }         Z.⁺ = N
La unión de los conjuntos  Z^- , {0 }  y  Z.⁺ forman el  conjunto de los números enteros.
 
Relación entre los conjuntosN y Z      

      

 
Ejemplo. Representemos con números enteros las siguientes situaciones mediante números enteros.
 
a. 18 grados sobre cero    →        18                                                      

b. 300 años antes de Cristo  →  - 300 
c. 100 metros bajo el nivel del mar.   →   -100

d. Deuda de $ 15.000. →   -1500

e. 6.000 metros de altura   → 6000  

f. 24 grados bajo cero. →   -24

 
Los números enteros y la recta numérica.
                       
Los elementos del conjunto Z  se pueden representar en la recta numérica, así: se fija un punto sobre la recta al que se le hace corresponder el número entero cero.
 
Se hacen marcas separadas unas de otras por espacios iguales tanto a la derecha como a la izquierda de cero. A cada marca se le asocia un número entero.
 
A la derecha de cero, se ubican los números enteros positivos y a la izquierda de cero, se ubican los números enteros negativos. 


              
                   Z^-   (Enteros negativos)                   Z⁺  (Enteros positivos)
 
Números opuestos. 

Los números que están a la misma distancia de cero sobre la recta numérica y tienen diferentes signos, se llaman opuesto. Por ejemplo, 3  y – 3 son números enteros opuestos, pues la distancia de cada uno de ellos a cero es de tres unidades. El opuesto de (-8) se representa – (-8) = 8.          

 
Valor Absoluto de un número entero.
 
Geométricamente, el valor absoluto de un número entero, es el número de unidades que separan a dicho número de cero, es decir, es la distancia del número a cero. Dado que la distancia siempre es un número positivo, se deduce que el valor absoluto de un número entero también lo es.
 

La expresión | a |, se usa para notar el valor absoluto del número a, y se lee valor absoluto de a.

Por ejemplo, | - 5 |= 5 pues la distancia de – 5 a cero es 5 unidades.
                      |5 |= 5 pues la distancia de 5 a cero es 5 unidades.
 
Gráficamente se tiene:               

 

Otros ejemplos

| 12 |= 12         |-352|= 352             |75|= 75         |-65|= 65 

 

 

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Dados dos números enteros a y b, entre ellos se satisface una y sólo una de las siguientes relaciones: a > b,   a < b  ó   a = b.
 
Para determinar si un número entero es mayor, menor o igual a otro, resulta muy útil recurrir a la recta numérica. 
 
En general,
 

a > b, si en la recta numérica a se encuentra a la derecha derecha de b.
                                                                
 
 a < b, si en la recta numérica a se encuentra a la izquierda de b
 
                       
                                                              
 a = b, si en la recta numérica a y b representan el mismo punto

                         
 
Ejemplos. Escribir los símbolos  >,< 0 = para relacionar las siguientes parejas de números enteros
 
a.  – 7 _____ - 5                   b. 4 _____ - 2
 
 Solución.
 
Al representar los números dados sobre la recta numérica, se obtiene:

Como – 7 está a la izquierda de de – 5 entonces  - 7  <  - 5

 

 
b. Sobre la recta numérica 4 está a la derecha de de – 2 

Así, 4 > - 2      

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 

 

ADICIÓN DE ENTEROS Y PROPIEDADES

Suma de dos números enteros positivos. Se suman como números naturales:12+14=26
Suma de dos números enteros negativos. Se suman como números  naturales y al resultado se antepone el signo menos:

 -5+ (-16)= -21.
Suma de dos números enteros con diferente signo.Sin tener en cuenta los signos,se resta el mayor del menor y se coloca el signo del mayor resultado: -8+5=-3,  4+(-9)= -5

Observemos cómo se suman números enteros 
La suma de números enteros se observa fácilmente en la recta numérica. Para ello se ubica el primer sumando y, luego, se avanza o retrocede tantas unidades como indique el segundo sumando según éste sea positivo o negativo. Así, 
Luego, (5) + (-9) = -4
 En este ejemplo se inicia en 5 y se desplaza hacia la izquierda 9 unidades.
 
 
Ejemplo. Hallar la suma de:
 
a. (-3) + (-7)                                                                              

Se inicia en -3 y se desplaza hacia la izquieda 7 unidades.  Luego   (-3)+ (-4) = -10

 

b. (-3) + (-5) + (4) 

                                                                                                         

Se inicia en -3,se retrocede 5 unidades y luego se avanza 4 
 Luego       (-3)+ (-5)+ (4)= -4       

 

Dar clic    aquí   →  

      

 PROPIEDADES QUE CUMPLE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

 La adición de números enteros cumple las mismas propiedades que se cumplen en los números naturales, además adquiere una más llamada invertiva. 
Interpretemos en el siguiente cuadro.

 

	SIMBOLOGÍA	ENUNCIADO	EJEMPLO
Clausurativa	Si a,b ∈ Z  entonces:                 a+b ∈ Z	La suma de dos enteros es otro número entero	-15+7 =-8
Asociativa	Si a,b,c ∈ Z   entonces:         (a+b)+c=a+(b+c)	La suma de más de dos enteros no depende de la forma como los asociemos	[-8+6]+(-4)=-8+[6+(-4)]      -2  +(-4) =  -8+ 2 -6                   =  - 6
Conmutativa	Si a,b ∈ Z  entonces        a + b = b + a	El orden de los sumandos no altera  la suma	12 + (-8)  = -8 + 12          4        =     4
Modulativa	Si a ∈Z   entonces a + 0 = 0 + a = a	Todo número entero sumado con cero da el mismo entero	-35 + 0  = -35
Invertiva	Para todo número entero a existe su opuesto, tal que   a + (-a) = 0	La suma de todo  entero con su opuesto es cero	39 + (–39) = 0

Veamos otros ejemplos

 Interna
El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
      
Ejemplo:  

Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
     (a + b) + c = a + (b + c)
 

Ejemplo:    (2 + 3) + (−5) =  2 + [3 + (−5)]
                       5     −  5    =  2 + (−2)
                               0       =     0
Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.
     a + b = b + a

Ejemplo:  2 + (−5)  = (−5) + 2
                    −3      =  −3
 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
     a + 0 = a

Ejemplo: (−5) + 0 = −5

 Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero.
      a + (−a) = 0
Ejemplo:  5 + (−5) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
Ejemplo:
−(−5) = 5

Resta
La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
      a − b = a + (−b)

Ejemplo:  7 −  5  = 7 + (−5) = 7 − 5 = 2

              7 − (−5) = 7 + [−(−5)]          = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros
 Interna
La resta dos números enteros es otro número entero.
     
Ejemplo:   

No conmutativa
      a - b ≠ b - a      

Ejemplo:   5 − 2 ≠ 2 − 5

 

 

Suma  de números enteros

Vamos a distinguir tres casos:

a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo:

3 + 4 + 8 = 15

b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo:

(-3) + (-4) + (-8) = -15

c) Si se suman números positivos y negativos

3 + (-4) + 5 + (-7)

Por un lado sumamos los números positivos: 3 + 5 = 8

Por otro lado sumamos los números negativos: (-4) + (-7) = -11

Ahora el resultado se obtiene de efectuar la resta 

8 - 11 = 

Cuando el minuendo es menor que el sustraendo se intercambian así:   11 -  8   y se efectua la resta 

11 - 8 = 3  pero se coloca el signo del número que este más lejos del cero en la recta numérica.

Luego  8 - 11= -3

 

RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
 Para restar dos números enteros al minuendo se le suma el opuesto de sustraendo, por lo cual, restar enteros se reduce a sumar enteros.

Ejemplos.   Resolver las siguientes operaciones con números enteros. 

a.    43 – (-6) = 43 + 6 = 49         

 b.   34 – 23 = 34 + (-23) = 11         

c.  -46 – (-28) = -46 + 28 = -18 

d.   14 – 20 = 14 + (-20) = -6