Números Racionales

Concepto de número racional. 

El cociente de dividir dos números enteros no siempre resulta ser un número entero.

Divisiones como, 53 ;     (-7)5  ;    9(-7) no son posibles en el conjunto de los números Z. 

 Para dar solución a estas operaciones se creó un nuevo conjunto llamado el conjunto de los números racionales, que se nota con Q  y se define,

 Las divisiones anteriores se pueden expresar por medio de números racionales así: 

5/3 ,    -7/5 ,    9/-7 

Términos de un número racional.Un número racional está formado por: 

1. El signo. Puede ser positivo o negativo y se escribe antes del número 

2. El numerador. Es el número escrito en la parte superior e Indica las partes iguales que se toman de la unidad. 

3. El denominador. Es el número que se escribe en la parte inferior e Indica las partes iguales en que se divide la unidad.

Ejemplo: 

FRACCIONES EQUIVALENTES

Son aquellas fracciones que representan la misma cantidad.

Ejemplo.

La parte sombreada de las tres gráficas representa la misma cantidad,por lo tanto se comprueba que

    Se puede seguir encontrando infinitas fracciones equivalentes a     

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Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de una y el denominador de la otra son iguales, es decir, productos cruzados.

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Ejemplos:verificar si las fracciones   $\frac{\mathrm{ son\; equivalentes}}{}$
Para ello multiplicamos el numerador de una de las fracciones por el denominador de la otra.

5 x 4 = 20                  2 x 10 = 20   (Como el resultado es el mismo, podemos decir que 5/2 y 10/4 son fracciones equivalentes.)

Ahora vamos a comprobar si  5/7 y 2/3 son equivalentes
Para ello multiplicamos
5 x 3 = 15                    7 x 2 = 14 (Como el resultado no es el mismo, podemos decir que 5/7 y 2/3 no son fracciones equivalentes.)

¿Cómo podemos calcular fracciones equivalentes?

• Por amplificación: Multiplicando numerador y denominador por el mismo número.

Por ejemplo, partiendo de la fracción 2/3 y multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número, podemos obtener diferentes fracciones equivalentes.
Ejemplo                    

 por tanto $\frac{\mathrm{2/}}{3} , \frac{\mathrm{10/}}{\mathrm{15\; y\; 12/18\; son\; equivalentes}}$

• Por simplificación: Dividiendo numerador y denominador por un divisor común entre ambos.

         Ejemplo:

                            ( Tanto numerador como denominador se dividieron por 6)

por lo tanto  12/30 y 2/5 son fracciones equivalentes

 

La recta numérica para los números racionales. 

 

Para representar un número racional sobre la recta numérica se debe tener en cuenta.

1. Los números positivos se representan a la derecha de cero y los números negativos a la izquierda.

2. Se elige una longitud (siempre la misma) para representar a la unidad.

3. Se divide la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador de la fracción que se va a representar.

4. Se cuenta tantas partes como indica el numerador. El punto que coincide con el número de partes es el que representa el número racional (coordenadas del punto en la recta).

Recordemos el significado de unidad.

 Unidad = 1 y se representa en la recta numérica  por un segmento del tamaño conveniente; definido el tamaño de la unidad se deben tomar las otras unidades de la misma medida.

|          |  Una unidad

|          |         |          |          |          |          |          |  8 Unidades

Ejemplos

Representar en la recta numérica los siguientes números racionales: 

 

 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

 

Adición 

Se presentan dos casos en la suma de números racionales. 

Caso 1. Suma de fraccionarios del mismo denominador. 

Se suman los numeradores (teniendo en cuenta su signo) y el resultado se escribe con el mismo denominador. Si la fracción resultante no es un racional ésta se debe simplificar hasta obtener el racional correspondiente. 

Ejemplos:

Caso 2. Suma de fracciones con distinto denominador. 

a. Se halla un denominador común a todas las fracciones ( mcm de los denominadores). 

b. Se hallan las fracciones equivalentes con el denominador común. 

c. se procede luego como en el primer caso. 

 Ejemplos: 

 Sustracción de números racionales. 

Caso 1. Resta de fraccionarios del mismo denominador. 

Se restan  los numeradores (teniendo en cuenta su signo) y el resultado se escribe con el mismo denominador, si se puede se debe simplificar.

caso dos: Si los denominadores son diferentes

Multiplicación.

Para multiplicar números racionales se multiplican sus numeradores entre sí y sus denominadores entre sí.

La ley de signos para multiplicar números racionales es la misma ley que se sigue para multiplicar números enteros. Así: 

1.       El producto de dos racionales de igual signo,es positivo

              (+) · (+) = +   

              (-)  ·  (-) = +     

Ejemplos:     

   

 

 2.     El producto de dos racionales de distinto  signo  es negativo.

              (-) . (+) = - 

              (+) · (-) =  -   

Ejemplos:

 

      

Resulta muy práctico simplificar las fracciones antes de multiplicarlas.

Esta simplificación se puede realizar ya sea en forma vertical o en forma diagonal; lo importante es que cada vez que se realice una simplificación, se haga del tal forma que se simplifique un numerador con un denominador, sin que  ellos tengan que ser necesariamente de la misma fracción. 

Se recomienda simplificar las fracciones antes de multiplicarlas.