Números Enteros

 

 

Iniciemos haciendo un recorrido por el conjunto de los números naturales.

El primer conjunto que se ha trabajado es el de los números naturales(N). 
N = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6…,}  y su representación en la recta numérica:

 

 

Con los números naturales podemos:

Contar los elementos de un conjunto

Ejemplos

 

12 es el número de países de suramérica.

 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto

 El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.

 

 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

 Mi número  en el carnet  es 40257.

En el conjunto de los números naturales, siempre son posibles las operaciones de suma y multiplicación. Sin embargo, en N  no existe solución para restas tales como 9 - 20,   13 – 48; en general, para todas aquellas restas en las que el minuendo es menor que el sustraendo.
Con el fin de hacer siempre posible la resta, es necesario ampliar el conjunto N, a otro conjunto llamado conjunto de números enteros, el cual se simboliza con la letra  Z. 
La ampliación del conjunto N se hace con la introducción de los números enteros negativos,los cuales constituyen una forma de representar situaciones tales como deudas, temperaturas bajo cero y años antes de Cristo, entre otras.
 
Los números enteros negativos se escriben anteponiendo un signo menos a cada número natural. Estos números forman el conjunto  Z.^- . El conjunto de los números enteros negativos se determina por extensión, así:                 Z ^-  = {…, -4, -3, -2, -1}
Los números enteros positivos,  forman el con junto Z⁺ que se determinan por extensión, así: Z⁺  = {1, 2, 3, 4, 5, …, }         Z.⁺ = N
La unión de los conjuntos  Z^- , { 0 }  y  Z.⁺ forman el  conjunto de los números enteros.
 
Relación entre los conjuntos N y Z      

      

 
Ejemplo. Representemos con números enteros las siguientes situaciones mediante números enteros.
 
a. 18 grados sobre cero    →        18                                                      

b. 300 años antes de Cristo  →  - 300 
c. 100 metros bajo el nivel del mar.   →   -100

d. Deuda de $ 15.000. →   -1500

e. 6.000 metros de altura   → 6000  

f. 24 grados bajo cero. →   -24

 
Los números enteros y la recta numérica.
                       
Los elementos del conjunto Z  se pueden representar en la recta numérica, así: se fija un punto sobre la recta al que se le hace corresponder el número entero cero.
 
Se hacen marcas separadas unas de otras por espacios iguales tanto a la derecha como a la izquierda de cero. A cada marca se le asocia un número entero.
 
A la derecha de cero, se ubican los números enteros positivos y a la izquierda de cero, se ubican los números enteros negativos. 


              
                   Z^-   (Enteros negativos)                   Z⁺  (Enteros positivos)
 
Números opuestos. 

Los números que están a la misma distancia de cero sobre la recta numérica y tienen diferentes signos, se llaman opuesto. Por ejemplo, 3  y – 3 son números enteros opuestos, pues la distancia de cada uno de ellos a cero es de tres unidades. El opuesto de (-8) se representa – (-8) = 8.          

 
Valor Absoluto de un número entero.
 
Geométricamente, el valor absoluto de un número entero, es el número de unidades que separan a dicho número de cero, es decir, es la distancia del número a cero. Dado que la distancia siempre es un número positivo, se deduce que el valor absoluto de un número entero también lo es.
 

La expresión | a |, se usa para notar el valor absoluto del número a, y se lee valor absoluto de a.

Por ejemplo, | - 5 |= 5 pues la distancia de – 5 a cero es 5 unidades.
                      |5 |= 5 pues la distancia de 5 a cero es 5 unidades.
 
Gráficamente se tiene:               

 

Otros ejemplos

| 12 |= 12         |-352|= 352             |75|= 75         |-65|= 65 

 

 

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Dados dos números enteros a y b, entre ellos se satisface una y sólo una de las siguientes relaciones: a > b,   a < b  ó   a = b.
 
Para determinar si un número entero es mayor, menor o igual a otro, resulta muy útil recurrir a la recta numérica. 
 
En general,
 

a > b, si en la recta numérica a se encuentra a la derecha derecha de b.
                                                                
 
 a < b, si en la recta numérica a se encuentra a la izquierda de b
 
                       
                                                              
 a = b, si en la recta numérica a y b representan el mismo punto

                         
 
Ejemplos. Escribir los símbolos  >,< 0 = para relacionar las siguientes parejas de números enteros
 
a.  – 7 _____ - 5                   b. 4 _____ - 2
 
 Solución.
 
Al representar los números dados sobre la recta numérica, se obtiene:

Como – 7 está a la izquierda de de – 5 entonces  - 7  <  - 5

 

 
b. Sobre la recta numérica 4 está a la derecha de de – 2 

Así, 4 > - 2      

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 

 

ADICIÓN DE ENTEROS Y PROPIEDADES

Suma de dos números enteros positivos. Se suman como números naturales:12+14=26
Suma de dos números enteros negativos. Se suman como números  naturales y al resultado se antepone el signo menos:

 -5+ (-16)= -21.
Suma de dos números enteros con diferente signo.Sin tener en cuenta los signos,se resta el mayor del menor y se coloca el signo del mayor resultado: -8+5=-3,  4+(-9)= -5

Observemos cómo se suman números enteros 
La suma de números enteros se observa fácilmente en la recta numérica. Para ello se ubica el primer sumando y, luego, se avanza o retrocede tantas unidades como indique el segundo sumando según éste sea positivo o negativo. Así, 
Luego, (5) + (-9) = -4
 En este ejemplo se inicia en 5 y se desplaza hacia la izquierda 9 unidades.
 
 
Ejemplo. Hallar la suma de:
 
a. (-3) + (-7)                                                                              

Se inicia en -3 y se desplaza hacia la izquieda 7 unidades.  Luego   (-3)+ (-4) = -10

 

b. (-3) + (-5) + (4) 

                                                                                                         

Se inicia en -3,se retrocede 5 unidades y luego se avanza 4 
 Luego       (-3)+ (-5)+ (4)= -4       

 

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 PROPIEDADES QUE CUMPLE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

 La adición de números enteros cumple las mismas propiedades que se cumplen en los números naturales, además adquiere una más llamada invertiva. 
Interpretemos en el siguiente cuadro.

 

	SIMBOLOGÍA	ENUNCIADO	EJEMPLO
Clausurativa	Si a,b ∈ Z  entonces:                 a+b ∈ Z	La suma de dos enteros es otro número entero	-15+7 =-8
Asociativa	Si a,b,c ∈ Z   entonces:         (a+b)+c=a+(b+c)	La suma de más de dos enteros no depende de la forma como los asociemos	[-8+6]+(-4)=-8+[6+(-4)]      -2  +(-4) =  -8+ 2 -6                   =  - 6
Conmutativa	Si a,b ∈ Z  entonces        a + b = b + a	El orden de los sumandos no altera  la suma	12 + (-8)  = -8 + 12          4        =     4
Modulativa	Si a ∈Z   entonces a + 0 = 0 + a = a	Todo número entero sumado con cero da el mismo entero	-35 + 0  = -35
Invertiva	Para todo número entero a existe su opuesto, tal que   a + (-a) = 0	La suma de todo  entero con su opuesto es cero	39 + (–39) = 0

Veamos otros ejemplos

 Interna
El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
      
Ejemplo:  

Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
     (a + b) + c = a + (b + c)
 

Ejemplo:    (2 + 3) + (−5) =  2 + [3 + (−5)]
                       5     −  5    =  2 + (−2)
                               0       =     0
Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.
     a + b = b + a

Ejemplo:  2 + (−5)  = (−5) + 2
                    −3      =  −3
 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
     a + 0 = a

Ejemplo: (−5) + 0 = −5

 Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero.
      a + (−a) = 0
Ejemplo:  5 + (−5) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
Ejemplo:
−(−5) = 5

Resta
La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
      a − b = a + (−b)

Ejemplo:  7 −  5  = 7 + (−5) = 7 − 5 = 2

              7 − (−5) = 7 + [−(−5)]          = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros
 Interna
La resta dos números enteros es otro número entero.
     
Ejemplo:   

No conmutativa
      a - b ≠ b - a      

Ejemplo:   5 − 2 ≠ 2 − 5

 

 

Suma  de números enteros

Vamos a distinguir tres casos:

a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo:

3 + 4 + 8 = 15

b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo:

(-3) + (-4) + (-8) = -15

c) Si se suman números positivos y negativos

3 + (-4) + 5 + (-7)

Por un lado sumamos los números positivos: 3 + 5 = 8

Por otro lado sumamos los números negativos: (-4) + (-7) = -11

Ahora el resultado se obtiene de efectuar la resta 

8 - 11 = 

Cuando el minuendo es menor que el sustraendo se intercambian así:   11 -  8   y se efectua la resta 

11 - 8 = 3  pero se coloca el signo del número que este más lejos del cero en la recta numérica.

Luego  8 - 11= -3

 

RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
 Para restar dos números enteros al minuendo se le suma el opuesto de sustraendo, por lo cual, restar enteros se reduce a sumar enteros.

Ejemplos.   Resolver las siguientes operaciones con números enteros. 

a.    43 – (-6) = 43 + 6 = 49         

 b.   34 – 23 = 34 + (-23) = 11         

c.  -46 – (-28) = -46 + 28 = -18 

d.   14 – 20 = 14 + (-20) = -6

Multiplicación de dos números  enteros

• Si los dos números tienen el mismo signo,  se multiplican los números sin el signo y el producto será positivo.

• Si los dos números tienen distintos signos, se multiplican los números sin el signo, y el producto será negativo. 

Al multiplicar dos números enteros se deben tener en cuenta la ley de los signos. 
Ley de los signos.                       Ejemplos                        

−    x  −   =  +                             - 2  x(- 5) = 10
+    x  +  =  +                                   2  x  5  =  10 
+  x  −   =   −                                  2 x(- 5) = -10
−   x +   =  −                                  −2  x  5  = -10

                                                           
Multiplicación de tres o más números enteros.         

para multiplicar tres o más números enteros se multiplican los números naturales y tendiendo en cuenta el número de factores negativos, se procede así:

• Si el número de factores negativos  es par,el producto es positivo.

• Si el número de factores negativos  es impar,el producto es negativo.

• Si todos todos los factores son positivos,el producto es positivo                                

Nota: La multiplicación se indica con un punto (·), símbolo que se puede omitir si los factores están en paréntesis. Así, a · b = (a)(b)
                                           
Miremos los siguientes ejemplos
                              a.     (-3)(-2)(-5) = -30
                              b.     (-7)(5)  = -35
                              c.     (-3)(4)(2)(-6) = 144
 
                                                                        
Propiedades de la multiplicación.  

Clausurativa: El producto de dos enteros  es un número entero.

Si a, b$\in$ Z, entonces,  a · b$\in$ Z

Ejemplo:  4 (-12) = -48        

 

  Asociativa : El producto  de más de dos enteros no dependen de la forma como los asociemos.   

         Si a, b, c$\in$ Z, entonces       (a · b) · c = a · (b · c)

Ejemplo    Aplicar la propiedad asociativa: 4 x 5 x 3 x 2                       

 Solución. (4 x 5) x (3 x 2)  =  4 x (5 x 3) x  2
                       20   x     6     =  4 x   15   x   2
                             120         =  4   x    30          
                                            = 120

Conmutativa: El orden de factores no altera el producto
                      Si a,b$\in$Z, entonces,                a · b = b · a

ejemplo     9 x 10 = 90

                 10 x 9 = 90

Modulativa: Todo número entero multiplicado por la unidad da el mismo entero.
                          Si a $\in$Z , entonces ,           a · 1 = 1· a  = a

Ejemplo    52 x 1= 52

Distributiva:  El producto de un entero por una suma o diferencia indicada es igual a la suma o a la diferencia de los productos parciales del entero por cada uno de los sumandos.  
                     

 (a + b) · c = ac + bc         (a - b)  · c = ac - bc

Aplicar la propiedad distributiva  a la operación  8 x [ 9 + 10 ]                         

 Solución. 8 x [ 9 + 10 ] = 8x9 + 8x10

                  8  x   19        =  72  +   80                      

                    152             =     152   

 

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División de los números enteros. 

La división de enteros es una operación inversa de la multiplicación, por lo cual el manejo de los signos es similar.

                                                            Ejemplos

−     ÷  −   =   +                                - 20 ÷ (- 5) = 4
+     ÷  +  =    +                                   20   ÷  5  =  4 
+   ÷    −   =   −                                  20  ÷ (- 5) = -4
−    ÷   +   =   −                                 −20   ÷  5  = -4

Por ser la divisón la operación inversa de la multiplicación se cumple :
 
              a ÷ b = c,    si y sólo si       a = b · c

                  Ejemplo: 30 ÷ 5 = 6 si y solo si  30= 5x6
 
En otras palabras, la división permite hallar el factor desconocido de una multiplicación en la que se conoce el producto y un factor.
 
Así, en a ÷ b = c,  a recibe el nombre de dividendo, b el de divisor     y  c  el  cociente. 

1.El cociente de dos números enteros del mismo signo es positivo.
 
2. El cociente de dos números enteros de distinto signo es negativo.
 
La división en el conjunto de los números enteros no cumple las propiedades clausurativa, asociativa, conmutativa, modulativa ni distributiva.

Para hallar el cociente de dos números enteros se debe tener en cuenta que el divisor sea diferente de cero(o)
 
Ejemplos: 
1. Escribir la división como una multiplicación indicada.
 
a. 15 ÷ 5 = 3, entonces 15 = 5 x 3
 
b. (-12) ÷ 4 = -3, entonces  - 12 = 4 x (-3)
 
2.  Convertir los productos en divisiones indicadas.
 
a. (5)(-4) = -20, entonces  (-20) ÷ 5 = - 4  ó  (-20) ÷ 5 =-4 

 

                                                                         POTENCIACIÓN

  aⁿ = b, significa:   a·a·a·a … = b
                            
En la expresión, aⁿ = b

  a recibe el nombre de base. Es el factor que se repite n- número de veces.

 n recibe el nombre de exponente. Es el número que indica el número de veces que se repite el factor

 b recibe el nombre de potencia. Corresponde al resultado de la multiplicación. Por ejemplo:

2⁵=2x2x2x2x2=32

En este ejemplo  a = 2,      n = 5  y  b= 32

Para hallar una potencia, se debe tener en cuenta los siguientes pasos:
 
1. Si la base es positiva, la potencia es positiva tanto para un exponente par como para un exponente impar.
 
2. Si la base es negativa se  pueden dar dos casos:
                         
         a. Si el exponente es par, la potencia es positiva.
                                                           aⁿ >0, si a < 0 y n es par.
         b. Si el exponente es impar, la potencia es negativa. Así,
                                                          aⁿ < 0, si a < 0 y n es impar.

El cero y el uno en la potencia de números enteros.
 

1ⁿ = 1

a¹ = a. Recibe el nombre de primera potencia de a

a⁰ = 1, si a es diferente de cero (0)
0ⁿ = 0, 
0⁰  no está definido
 
Ejemplos.
 
1. escribir como producto indicado y hallar el resultado de las siguientes potencias.
 
a. 5³         →      5³ = 5 x 5 x 5 = 125.    La base se repite tres veces  
 
b. (-3)⁴     →     (-3)⁴   = (-3) (-3)(-3)(-3)= 81 La base (-3) se repite 4 veces como factor
 
2. escribir en forma de potencia los siguientes productos.
 
a. 7·7·7·7·7·7 = 7⁶                b. (-4)(-4) (-4)(-4) (-4)= (- 4)⁵                    c. 12 x 12 x 12 x 12= 12⁴
  
Algunas propiedades
 
a)        Si a  Z  y m, n, $\in$ N,  entonces  a^m x aⁿ = a^m+n

Ejemplos    (-3)² (-3)³  = (-3)²⁺³ = (-3)⁵ =(-3)(-3)(-3)(-3)(-3)= 243

2¹ x 2² x 2³  = 2¹⁺²⁺³  = 2⁶  = 2x2x2x2x2x2= 64

b)   a^m÷ aⁿ = a^m-n

3⁸ ÷ 3⁶ = 3^{8 - 6} = 3² = 9 

c)        Si a, b Z  y  n$\in$ N,  entonces  (a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ

(4x3)² = 4² x 3² = 16 x 9 = 144

(2x3x4)³ = 2³ x  3³ x  4³

               =  8 x   27 x  64 = 13.824

Si a$\in$ Z y m, n$\in$N, entonces (a^m)ⁿ = a^mxn

Ejemplo

(4²)³ = 4^2x3 = 4⁶ = 4096

[(-5)²]¹ = (-5)^2x1  =  (-5)² = 25

veamos un ejemplo en el siguiente video.

 

RADICACIÓN

La radicación es la operación que “deshace” la potenciación.

veamos con un ejemplo:

        (Se lee raíz cuadrada de 16 igual a 4)  se busca un número que elevado al cuadrado de 16). 
En el ejemplo anterior, el 16 se llama radicando, el 2 índice y el resultado 4, raíz. 
La definición formal de esta operación es la siguiente:

 Si n es un número natural, se dice que el número entero a es la raíz enésima del número entero b, si b es la potencia enésima de a. 

Se dice también que la raíz es el número encontrado (a)que multiplicado las veces que dice el índice(n) de como resultado el radicando(b). Es decir:

       n = Indice    b = Radicando    y    b = Raíz

Veamos otros ejemplos:

   (El 9 se multiplicó  2 veces para optener 81)

 Cuando el índice es 2 no es necesario colocarlo

  ( El 5 se multiplicó  3 veces, que es lo que indica el índice)

 

Para hallar la raíz n-ésima exacta de un número entero se debe tener en cuenta: 
1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo de la cantidad subradical.

Por ejemplo,

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{-125}=-5 porque (-5) (-5) (-5)=-125 \\ \sqrt[3]{125}=5 porque 5\times 5\times 5=125 \end{gathered}$$
2. Si el índice es par y la cantidad subradical es negativa, la raíz no existe en el conjunto de los números enteros.

Ejemplo

Cuando el índice es par y el radicando negativo no es posible encontrar la raíz.

3. Si el índice es par y la cantidad subradical positiva, las raíces son dos números enteros opuestos.

Ejemplos

POLINOMIOS. 

 

Un polinomio es una expresión en la que aparecen indicadas varias operaciones.
 
Tenemos dos tipos de polinomios:
 
1. Polinomios en los que no contienen signos de agrupación.
 
2. Polinomios con  signos de agrupación.
  
1. Polinomios en los que no contienen signos de agrupación 
Se pueden identificar los términos que lo componen. 
Por ejemplo, el polinomio: (-10)3 + (-5²) – (-4) + 7, consta de cuatro términos. 
Se resuelve así: 
. Se resuelven las potencias . 
. Se resuelven productos. 
. Se resuelven sumas y restas.

por lo tanto:  (-10)3 + (-5²) – (-4) + 7=-30+25 +4 +7

                                                                 =-30+36

                                                                 = 6
2. Polinomios en los que contienen signos de agrupación
 
Para resolver este tipo de polinomios, se realizan las operaciones según lo indiquen los signos de agrupación.
 
Los signos de agrupación más usados son:
 
(     ) Paréntesis
[     ] Corchete
{     } Llave
 
Se usan de adentro hacia fuera. Así, el paréntesis, el corchete, y la llave.   {  [ (     ) ] }
 
Para destruir un signo de agrupación se elimina, resolviendo todas las operaciones indicadas en su interior.
 
Ejemplo. Resolver los siguientes polinomios.
               
a. ( - 2)³+3(-2)+ (3)(-4) – (-3)         = -8 + (3)(-2) + (3)(-4) +3
                                                            =  -8 – 6 – 12 + 3
                                                            = -26 +3
                                                            = - 23
 

b. 10 +{[ (-6)+(20 –35)] + 5 } + (-8)= 10+{ [ (-6) + (-15)] + 5  }+ ( -8 )
                                                             = 10 +    { [ -21 ]     +   5 } + ( -8 )
                                                             = 10   +        {   -16 }       + ( -8 )
                                                             = 10 – 16 - 8
                                                             = 10   -  24
                                                             =     -14
 
c. (-3)2 - {-5·2+[ 3–(2·1+(- 2 )) ] } = -6 - { -10+[3–(2·1 -2)]}
                                                        =-6 - { -10+[3 –(2- 2)] }

                                                        = - 6 - {-10+[3 –   0]}
                                                        = -6 - { -10  +     3 }
                                                        = - 6 - {    -7   }
                                                        = - 6 + 7
                                                        =  1
 

ECUACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 

Una ecuación es una igualdad en la que desconoce un término. 
El término desconocido se simboliza con alguna letra del alfabeto y recibe el nombre de incógnita. Así.     5 + x = 25 
 X es el término que no se conoce. 
En una ecuación se pueden identificar dos miembros. El primer miembro es el que se encuentra al lado izquierdo del signo=, el segundo miembro, se encuentra al lado derecho del mismo.
 
Para resolver una ecuación, se hace uso de la propiedad uniforme de las igualdades.
Propiedad uniforme: 
Si a los dos miembros de una igualdad se le suma, resta multiplica o divide por el mismo número la igualdad se conserva. El uso de esta propiedad permite enunciar las siguientes reglas, conocidas como transposición de términos, que permite la solución de las ecuaciones de una forma práctica.
 
Transponer un término significa cambiarlo de un miembro de la igualdad al otro y las reglas para hacerlo son:
 
1. Si el término que se va a transponer está sumando pasa restando.
2. Si el término que se va a transponer está restando pasa a sumar.
3. Si el término que se va a transponer, está multiplicando pasa a dividir.
4. Si el término que se va a transponer está dividiendo pasa a multiplicar.
 
Ejemplos. 
1. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la propiedad uniforme. 
a.   x + 18 = 11 
Solución.     

Se resta 18 a ambos miembros de la igualdad
 
x + 18 – 18 = 11 – 18
 x +      0       =   – 7
                  x =  – 7
 
b.   -6x = 12 

Solución.   

2. Resolver la siguiente ecuación transponiendo términos. 
          5x + 3 = -12 
Solución.