Razones Y Proporciones
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RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN. La razón entre dos números a y b es el cociente que resulta de dividir a a entre b.
La razón entre a y b se simboliza así:
a /b o a : b y se lee a es a b
El número a recibe el nombre de antecedente (numerador) y el número b recibe el nombre de consecuente (denominador).
El cociente entre a y b es el número que resulta de relacionar o comparar dichas cantidades.
Ejemplos :
- Si por cada 12 litros de agua hay 3 litros de vino, la razón que relaciona o compara las dos cantidades es 12/3 = 4.
- Doña Rosa para hacer buñuelos, a cada 500 gramos de harina le hecha 40 gramos de cuajada, por lo tanto la razón entre la harina y la cuajada es 500/40 = 50/4 = 25/2 = 12.5 Este valor le sirve a doña Rosa para saber que cantidad de cuajada necesita para la cantidad de harina que necesite preparar,por ejemplo si necesita preparar 8000 gramos de harina,este valor lo divide por 12,5 así 8000/12.5= 640 (necesita 640 gramos de cuajada)
Proporción. Se llama proporción a la igualdad entre dos razones.
Se simboliza así:
Se lee a es a b como c es a d ; a y d son los extremos, b y c son los medios.
-
En una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
- Si en una proporción cambian entre sí los medios o los extremos la proporción no varía.
Ejemplos:
1. La expresión 2 es a 5 se escribe 2/5 =0.4 (su razón es 0,4)
2. La razón entre las edades de Pedro y Juan, sabiendo que Pedro tiene l5 años y Juan 12 es : 15/12 =1.25
3. Determina si cada par de razones es una proporción.
a. 7/5 y 21/15 Si por que 7x15=105 y 5x21= 105
b. 3 /7 y 9/14 No, por que 3x14 = 42 y 7x9= 63
2. Escribe en cada caso la razón que relaciona a las dos cantidades.
a. El número de habitantes asiáticos y el número de habitantes del mundo, sabiendo que 6 de cada 10 son asiáticos.
→ 6 /10
b. Las velocidades de un bus y un automóvil, sabiendo que la velocidad del bus es 90 km por hora y la del automóvil es de 110 km por hora.
→ 90 / 110
c. El número de mujeres y el número de hombres de un colegio, sabiendo que por cada 3 mujeres hay 5 hombres.
→ 3/5
Cálculo de un término de una proporción.
Hallemos el valor de x en los siguientes ejercicios
Luego el valor de X es 4
Luego el valor de X es 36
Proporcionalidad directa.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una aumenta la otra y la razón entre sus medidas es constante. Si al aumentar una la otra también lo hace, pero la razón entre sus medidas no es constante, las magnitudes son directamente correlacionadas.
Por ejemplo, si para hacer un pastel por cada 100 gramos de harina se necesitan 2 huevos, se puede elaborar la siguiente tabla, así:
| Harina en gr. | 100 | 200 | 300 | 400 |
|---|---|---|---|---|
| Huevos | 2 | 4 | 6 | 8 |
El número de huevos necesarios para hacer el pastel depende de la cantidad de harina utilizada en su elaboración. Además si se hallan las razones entre el número de huevos y la cantidad de harina, se puede observar lo siguiente:
La razón entre la cantidad de harina y el número de huevos es 50
50 recibe el nombre de: constante de proporcionalidad
Gráficamente
De acuerdo a la gráfica vemos que es una recta que parte del origen del plano Cartesiano, por lo tanto se puede afirmar entonces que las magnitudes son directamente proporcionales.
Determina a través de las gráficas si las magnitudes son directamente proporcionales o están correlacionadas directamente. Para las magnitudes directamente proporcionales, halla la constante de proporcionalidad y la fórmula que las relaciona
3. De termina si cada par de magnitudes dadas a continuación son directamente proporcionales o directamente correlacionadas. Encuentra la fórmula que las relaciona.
a. número de obreros en una fábrica de pantalones y número de pantalones fabricados sabiendo que 15 obreros fabrican 420 pantalones en un mes.
b. Número de bolsas de leche y su valor en pesos sabiendo que 4 bolsas cuestan $4.800.
c. número de metros de tela y número de vestidos confeccionados, sabiendo que para confeccionar un vestido el sastre necesita 31/2m de tela.
Proporcionalidad Inversa.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando al aumentar la una disminuye la otra y el producto de las cantidades correspondientes es constante.
Si al comparar las magnitudes una de ellas disminuye cuanto la otra aumente pero el producto de las cantidades correspondientes no es constante, las magnitudes están directamente correlacionadas.
Por ejemplo, si para recorrer una distancia a una velocidad constante de 40 km por hora, un auto emplea 10 horas; se puede elaborar la siguiente tabla en la que se relaciona la velocidad y el tiempo empleado por el auto para recorrer la misma distancia. Así.
|
Tiempo |
10h |
5h |
20h |
4 h |
|
Velocidad |
40 |
80 |
20 |
100 |
El producto entre la velocidad y el tiempo es constante. Este producto es 400. Es decir, la distancia recorrida por el auto es 400km. 400 recibe el nombre de constante de proporcionalidad y permite afirmar que el tiempo varía en forma inversamente proporcional
a la velocidad del auto, o que las magnitudes tiempo y velocidad son inversamente proporcionales.
Ahora bien, si en el ejemplo, las cantidades de la tabla se grafican como parejas ordenadas, se obtiene el siguiente gráfico:
Ejemplos: De acuerdo con la gráfica, se observa que:
* Los puntos están sobre una línea curva decreciente que se acerca cada vez más a los ejes de coordenadas
* Dado que la constante de proporcionalidad es 400, se puede establecer la fórmula
y = 400/x
El valor de y es inversamente proporcional al valor de x.
* La fórmula y =k/x, en donde k representa la constante de proporcionalidad que permite determinar en este caso, el tiempo necesario para realizar el recorrido, a cualquier velocidad, sin necesidad de realizar otros cálculos.
Propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales.
Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón entre dos cantidades de una magnitud, es igual a la razón inversa entre las cantidades correspondientes de la otra. En el ejemplo anterior.
1. y · x = k, en donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad, lo cual permite establecer la relación: y = k/x
2. los puntos de la gráfica están sobre una curva que se acerca a los ejes de coordenadas.
3. La razón entre dos cantidades de la magnitud P, es igual a la razón inversa entre las cantidades de la magnitud Q.
Ejemplos. 1. determinar si en las magnitudes relacionadas a través de la tabla, hay proporcionalidad inversa o correlación inversa. Si hay proporcionalidad inversa, hallar la constante de proporcionalidad y luego la fórmula que relaciona las magnitudes.
a.
x 8 16 4 8 x 20 = 160; 16 x 12 = 192 ; 4 x 3 = 120.
y 20 12 30 Por lo tanto, no hay constante de proporcionalidad. En consecuencia las
magnitudes no son inversamente proporcionales.
Son inversamente correlacionadas.
a.
x 3 2 6 3 x 8 = 24; 2 x 12 = 24 ; 6 x 4 = 24
y 8 12 4 Los productos son iguales, por lo tanto x y y son magnitudes inversamente
proporcionales. La constante de proporcionalidad es k = 24
y = 24 es la fórmula que relaciona las dos magnitudes
2. Determinar si las magnitudes relacionadas a través de la gráfica son inversamente proporcionales o están correlacionadas inversamente. Para las magnitudes inversamente proporcionales hallar la fórmula que las relaciona.
1 x 10 = 10; 2 x 5 = 10; 3 x 2 = 6; 4 x 1 = 4
Se toman de la gráfica las parejas ordenadas y se hallan los productos respectivos. Se observa que:
La magnitud representada sobre el eje x aumenta y la magnitud representada sobre el eje y disminuye pero esta relación no es proporcional, pues no hay constante de proporcionalidad.
Por lo tanto las magnitudes están inversamente correlacionadas,
a. y
10
9
8
7 __
6
5 __
4 __
3 __
2 __
1 __
___ x
1 2 3 4 5
1 x 20 = 20; 2 x 10 = 20; 5 x 4 = 20.
Se toman las parejas ordenadas y se hallan los productos respectivos. Se observa que:
Hay constante de proporcionalidad pues una curva decreciente, que se acerca a los ejes de coordenadas y que no pasa por el origen.
Por lo tanto las magnitudes representadas son inversamente proporcionales.
La fórmula que las relaciona es y = 20/x
a. y
20
18
16
14 __
12
10 __
8 __
6 __
4 __
2 __
___ x
1 2 3 4 5
3. Determinar si las magnitudes, altura sobre el nivel del mar y temperatura de las ciudades, son inversamente proporcionales o inversamente correlacionadas, sabiendo que:
|
Ciudad |
Altura |
Temperatura |
|
Riohacha |
3 |
28 |
|
Buga |
980 |
23 |
|
Medellín |
1.486 |
20 |
|
Manizales |
2.216 |
17 |
En la tabla se puede observar que:
A mayor altura de una ciudad, menor es la temperatura en ella.
3 x 28 = 84; 980 X 23 = 22.540; 1.486 X 20 = 29.720; 2.216 x 17 = 37.672
No existe constante de proporcionalidad.
Por lo tanto, las magnitudes altura sobre el nivel del mar y temperatura son inversamente correlacionadas.
TALLER
- Determinar si las magnitudes relacionadas a través de cada tabla, son directamente proporcionales o están correlacionadas directamente. Si las magnitudes son directamente proporcionales, se halla la constante de proporcionalidad y luego la fórmula que las relaciona. a.
|
Número de obreros ( x ) |
30 | 5 | 20 | 7 | 10 |
|
Artículos fabricados ( y) |
750 |
125 |
500 |
175 |
250 |
b.
|
Número de pasajeros ( x ) |
0 |
1 |
3 |
5 |
10 |
||
|
Costo total ( y ) |
0 |
900 |
2.700 |
4.500 |
9.00 |
||
c.
|
Velocidad Km/h (x) |
30 | 50 | 80 | 30 | 15 |
|
Distancia Km (y) |
90 |
150 |
240 |
175 |
45 |
d.
|
Edad Años ( x) |
2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|
Talla de Vestido (y) |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |