Matemáticas

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Ciclo 3

Sistema De Numeración Decimal

El objetivo es que el estudiante identifique el sistema decimal donde los números se representan utilizando como base aritmética las potencias del numero 10.

Thu, Jul 11, 2024 4:58 PM

 

SISTEMAS DE NUMERACIÓN BINARIO Y DECIMAL

 El sistema de numeración decimal tiene su origen en las culturas ubicadas en la India y se extendió por Europa debido a las invasiones árabes. El sistema decimal o induarábigo ha sido transformado con el paso de los años hasta el que hoy en día conocemos y utilizamos. Emplea 10 símbolos llamados dígitos, por lo que la base de este sistema es diez, y el valor de cada cifra depende de la posición que ocupe.

 
 0          1          2          3          4          5          6          7          8          9                                  (Dígitos)

Con estos diez dígios se puede escribir cualquier número natural.

Ejemplo:

324.578    Que se lee: Trescientos veinty cuatro mil quinientos setenta y ocho.

 

POTENCIAS DE  10:

Son potencias de base 10 todas las que tienen como base el número 10

EJEMPLOS:

102 ,  108 ,  1015

Si se  tiene una potencia de 10 y se quiere hallar el resultado, a la unidad se le colocan tantos ceros como indique el exponente.

Ejemplo:

103= 1.000    por que el exponente tine 3 ceros, que es lo mismo que     103= 10x10x10

105= 100.000    por que  el exponente tine 5 ceros, que es lo mismo que  105= 10x10x10x10x10

10= 1     El exponente está indicando que no le coloque ceros

De esta forma se puede completar la siguiente tabla:

  10= 10  
  10= 10x10 =100
  103=10x10x10=1.000
  104=10x10x10x10=10.000
  105=10x10x10x10x10=100.000
  106= 10x10x10x10x10x10= 1.000.000 

X

         

Todo número natural lo podemos expresar como la suma de cada cifra multiplicada por una potencia de 10, según el lugar que ocupa.

Ejemplos:

  (Los exponentes crecen de derecha a izquierda partiendo de las unidades)

3 4 5  =  3x10+ 4x10+ 5x100

              = 3x100 +  4x10  +  5x1

              = 300     +    40      +    5

              = 345

Esta forma de escribir un número es llamada Descomposición polinómica 
La siguiente tabla indica la posición de las cifras para escribir el número; cada posición corresponde a una potencia sucesiva de la base que es 10.

 

    Billones

Miles de millones

    Millones

     Millares

 

  C

  D

  U

   C

   D

  U

  C   

  D   

  U  

  C   

  D    

  U    

       C

Centenas

       D

Decenas

 

      U

Unidades

 

1014

1013

1012

1011

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

101

100

 

 La lectura se hace de izquierda a derecha. Cada cifra tiene dos valores:
 
Valor absoluto: Valor independiente del lugar que ocupe la cifra.
Valor relativo: valor que depende de la posición de la cifra del número

Ejemplo: Interpretemos el número 705.326

                                                            

 

    Centenas de 

         millar  

Decenas de 

   millar        

Unidades de

     millar   

Centenas    

 Decenas   

  Unidades     

 

      7            

 

     0

 

      5

 

      3

 

 

     2                

 

 

     6                

       7x 105        + 0 x 104       +    5 x103  +     3 x 102   +     2 x 101       +     6 x 100                                                             

  7 x100 000   +  0 x10 000    +      5x1000     + 3 x100    +     2 x 10      +   6 x 1

  700 000        +        0            +        5000     +   300        +        2           +     6   

   705.326     

 Se lee: setecientos cinco mil trescientos veintiséis.

El valor absoluto de 3 es 3 en el lugar de las centenas. 
El valor relativo o valor de posición de 3 es de 300
   

Veamos otro ejemplo con el número 999.999

                                Millares

 

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

           9

        9

         9

           9

          9

 

            9

   9 x 105     +    9 x 104       +      9 x 103      +    9 x 102       +   9 x 101      +  9 x 100

 9 x 100 000     +   9 x 10 000   +      9 x 1000          +   9 x 100    +   9 x 10    +    9  x 1 

     900 000         +    90 000       +          9000             +   900            +     90     +       9

  999.999

 Se lee: Novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

 

Complementemos lo aprendido con el vídeo

 

                                    SISTEMA BINARIO

 

 

El sistema binario o en base dos, al igual que el sistema decimal, también es posicional. En él se utilizan dos símbolos: 0 y 1, los cuales pueden relacionarse con prendido o apagado, abierto o cerrado, lleno o desocupado. Este sistema permite expresar números mediante agrupaciones de dos en dos.
Analicemos el siguiente ejemplo.

Mariana tiene 7 canicas y desea hacer agrupaciones con ellas, utilizándo el sistema binario. Veamos cuántas agrupaciones puede formar  con 7 canicas:

Puede formar 3 grupos de 2 y queda una canica suelta   

 

Mariana obtiene un grupo de 4 canicas, un grupo  de 2 canicas  y una canica suelta; por tanto, puede escribir el número  7 en el                                                                                                                sistema binario como   7 = 111(2)      

Veamos otro ejemplo:

 

Conversión de decimal a binario

Se realizan divisiones sucesivas entre 2 del número a convertir hasta donde sea posible. Luego se escribe el último cociente y los residuos obtenidos del último al primero.
Ejemplos.

  • Convertir el número decimal 19 a base dos

   (Se escribe de atrás hacia adelante)

 

19 = 10011(2)  y se lee: diez y nueve es igual a uno, cero, cero, uno, uno en base dos.   

  • Convertir el número decimal 23 a binario                  
  •                                                                                  

 

Los invito a ver el siguiente vídeo

 

Conversión de binario a decimal
 
Para convertir un número en base 2 a base 10, se escribe en notación desarrollada y luego se calcula el resultado. Es decir se realiza la descomposición polinómica multiplicando la cifra por la potencia de 2 que corresponda según el lugar que ocupe. 10010(2)
 Ejemplo 1: 

10010(2)  = (1 x 24 ) + (0 x 23 ) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)

               = 18                                                                                                                                                                                                            

 

24  

23  

2

2

2

 

1

0

 0

 1

0


                
Ejemplo 2. Transformar el número binario 101(2) a base 10.
 
Solución: 101(2)  = (1 x 22) + (0 x  21) + (1 x 20 ) = 4 + 0 + 1 = 5 

Los invito a ver el siguiente vídeo

 

                                                                  
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       

 

 

Actividad

1.Ubicar correctamente los números en las casillas correspondientes, colocando el nombre de acuerdo a su posición.

    325               1. 345.999              324.000                    42.567.400

            3 2 5
                 
                 
                 

Ejemplo:

 325=300+20+5

2. Convertir el número decimal 27 a binario 

3.  Convertir el número binario  10011(2    a  decimal