FRACCIONES Y DECIMALES 

 Una fracción es una expresión de la forma  $\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">a</span>}}{}$$\frac{\mathrm{/<span\; style="font-size:\; 18px;\; font-family:\; sans-serif,\; Arial,\; Verdana,\; "Trebuchet\; MS",\; "Apple\; Color\; Emoji",\; "Segoe\; UI\; Emoji",\; "Segoe\; UI\; Symbol";"> </span>}}{}$$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">b</span>}}{}$$\frac{}{}$ en donde a y b son números naturales.
La letra a representa el numerador y la letra b representa el denominador.
 
El denominador, es el número que indica las partes en que se ha partido la unidad.
 
El numerador, es el número que indica las partes o unidades fraccionarias tomadas de la unidad.

 

Ejemplo: 

  ^{La fracción  es representada por la parte coloreada}           

La fracción como un cociente. 

Una fracción también se puede interpretar como un cociente indicado, de tal forma que el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. 
Por ejemplo. 
Para partir 3 tortas entre 4 personas, se divide cada torta en 4 porciones iguales, con lo cual, a cada persona le corresponde 3 de esas porciones; 

es decir; el cociente de dividir 3 entre 4 es 3 ¸4 y se puede escribir ¾.
 
Ejemplos  Representar gráficamente las siguientes fracciones:    

              a. 5/6                                       b. 7/2

Solución

El video siguiente  nos aclara algunos conceptos sobre fracción,los invito a que lo miren y regresar a la clase.

         

                                                    NÚMEROS MIXTOS                             

  Por ser mayor que la unidad, las fracciones impropias se pueden escribir como la suma de un número natural con una fracción propia. 

 Ejemplo: 

 

3 unidades completas y  2/3 es: 3 + 2/3. Se ha tomado 3 unidades completas, más 2/3 de la cuarta unidad.

Un número mixto consta de dos partes: una parte entera y una fraccionaria, así:

 

Conversión de una fracción a número mixto. 

Para transformar una fracción en un número mixto, se divide el numerador entre el denominador.

El cociente de la división es la parte entera del número mixto y, el residuo, es el numerador de la parte fraccionaria.

 
Por ejemplo, para convertir a mixto  la fracción 13/3 se procede de la siguiente manera:                

                                                                              

  

Conversión de un número mixto a fracción.    

Para expresar un número mixto  como fracción, se procede así: 
1. Se multiplica la parte entera por el denominador de la fracción. A este producto se le suma, el numerador de la fracción.
2. el resultado anterior es el numerador de la nueva fracción, y como denominador, se escribe el mismo denominador de la

fracción que forma parte del número mixto.

Ejemplos:

 

     

Fracciones equivalentes.

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma porción de la unidad.

 
Por ejemplo:  $\frac{1}{2},\frac{2}{4} y \frac{4}{8} Son fracciones equivalentes.$

Miremos mediante dibujo estas equivalencias:

Las  parte coloreada de azul de las tres gráficas representan la misma cantidad      

 

                                                                            OPERACIONES CON FRACCIONARIOS

 Adición de fracciones con igual denominador

Al sumar fracciones con igual denominador se obtiene un fraccionario donde su numerador es la suma de los numeradores y el denominador es el mismo de los sumandos.

Ejemplos:

            

   

Sustracción de fraccionarios con igual denominador     

Para restar fraccionarios con igual denominador se efectúa la diferencia de los numeradores y se deja como denominador al mismo de los sumandos.

Ejemplos:

Suma y sustracción de fraccionarios con distinto denominador 

Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se aplica la siguiente formula:

     

 

Ejemplos:

         

  

                                               MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Para multiplicar fracciones , se aplica la siguiente formula:

     Se multiplican los numeradores con numeradores y

       denominadores con denominadores

Ejemplos

           

 

                                                      DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

 

  Para dividir fracciones , se aplica la siguiente formula:

Para dividir un número fraccionario por otro, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

Ejemplos:

 

Operaciones combinadas de adición y sustracción.

Los invito a ver los siguientes videos y luego regresar a la clase

Dar clic aquí →     https://www.youtube.com/watch?v=HKz0OB5imBM

                             https://www.youtube.com/watch?v=jvNr-n3KZ5A

                             https://www.youtube.com/watch?v=EjRIiKxV_Xk

 

                                                                            FRACCIÓN DECIMAL

 Una Fracción decimal es una fracción en la cual el denominador (el número de abajo) es una potencia de diez (como 10, 100, 1000, etc.).

Ejemplos    

$\frac{7}{100}, \frac{15}{10}, \frac{24}{100}$

Podemos escribir fracciones decimales con un punto decimal (y sin denominador). Esto puede facilitar mucho los cálculos de operaciones como suma, 

y multiplicación en fracciones.                                                             

Un decimal es la connotación  particular de las fracciones decimales, así: 

 

En los números decimales, se tiene en cuenta el valor de posición de las cifras, al igual que en los números naturales.

 El Número decimal consta de dos partes separadas por una coma, llamada coma decimal. La parte entera está escrita a la izquierda de la coma

y la parte decimal esta escrita a la derecha de la coma. 

Veamos con un ejemplo:

         El número 4,82 está formado por 4 unidades, 8 décimas y 2 centécimas

La tabla muestra otros ejemplos

bsérvese que el uso del cero es determinante para establecer el valor de las demás cifras. Cuando en un número decimal la parte entera no es 0,

también se puede leer de la siguiente manera: se nombra la parte entera y después la parte fraccionaria. 

 

Expresemos las siguientes fracciones en forma decimal   4/10,     325/100,     3524/100,    98/10.000

Para efectuar la división,se escribe el numerador, y  la coma(,) se debe correr de derecha a izquierda tantas veces como ceros tenga

la potencia de diez

$\frac{4}{10}=,4 \to \frac{4}{10}=0,4$                                       $\frac{325}{100}=3,25$

 

$\frac{3524}{100}=35,24$                                                                 $\frac{98}{10000}=0,0098$                                          

 

 Expresión decimal de una fracción cualquiera:

para expresar una fracción en número decimal se efectúa la división teniendo en cuenta que el numerador en la fracción es el dividendo  y el

denominador es el divisor, así:

  Un número fraccionario se puede escribir en forma decimal, dividiendo el numerador entre el denominador.

 

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Orden en los números decimales. 

Para determinar si un número decimal es menor, mayor o igual a otro, se comparan las cifras decimales una a una de cada decimal. En la cifra que se establezca

la diferencia se puede determinar el signo  >,< o =, Así:

a)  3, 0056451  >   3,0056351  Hasta el color amarillo son iguales,pero en el siguiente decimal 4 es mayor que 3  (4 > 3) 

Luego, 3,0056321   >    3,0056231     

b)  5,487 < 5,49  por que 8 < 9 (Hasta el color amarillo son iguales)

 

Adición y sustracción de decimales

Son muchas las situaciones diarias en las que se requiere realizar adiciones con decimales para resolver problemas que tienen que ver con medidas, peso, tiempo, dinero, etcétera.

 Veamos el siguiente problema: 
•    La mamá de Juan quiere hacerle un traje y  para ello, necesita tela.  Para el pantalón requiere 1.10 m y para el saco 1.35 m, ¿cuántos metros necesita en total? 

Al resolver el problema con los datos proporcionados, el planteamiento de solución requiere una suma: 1.10 m + 1.35 m  y se solucionaría siguiendo tres pasos: 

1. Se escriben los números, uno debajo de otro, de manera que los décimos queden en una columna, los centésimos en otra, y así sucesivamente.

1.10

1.35

 2. La suma se iniciará por la columna de la derecha, tomando los lugares vacíos como ceros, y al llegar al punto decimal, éste se anotará alineándolo con los de arriba.            

                      1.10      

                   + 1.35                                

                  ________

                       .45 

3. Se suma la parte entera    

                                 En total necesita 2.45 m. de tela.
 
Se observa, en el resultado de la suma con decimales, que las unidades del mismo orden se acomodan en forma vertical y luego se suman las columnas, del mismo modo que se realiza con los números naturales. 

Un trabajador instaló 12 m2 de alfombra en una casa. El primer día instaló 1.90 m2. Después de dos días de trabajo ha instalado 7.58 m2, ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra instaló el segundo día? 
La situación planteada se presenta así:

Hay una adición de dos sumandos y se desconoce uno de ellos.  

1.90 m²   +   x m²     =     7.58 m²

 Trabajo del                Trabajo del           Trabajo de

 de primer día            segundo día          los dos días 

Una operación para encontrar la respuesta es la sustracción.  

 7.58 m² - 1.90m²   =     x m²  ( x es el valor a encontrar ) 
   Suma            sumando              sumando

                        Conocido              que falta 

                                 

L a sustracción es la operación inversa a la adición. 
 
Los términos de la sustracción son: 
 7.58 m²  –  1.90 m²  =  5.68 m²

 Minuendo           sustraendo         diferencia 
  
Lo importante es darse cuenta de que el sustraendo se coloca debajo del minuendo y el punto decimal se alinea verticalmente. Se resta como si fueran números naturales, de tal manera que el punto decimal del resultado se alinea con el punto decimal de los demás elementos. Así: 

Un caso que merece tomarse en cuenta es cuando el minuendo tiene más o menos cifras decimales que el sustraendo. Ejemplos: 
a. 1,003.003 – 478.25. Para realizar esta operación, se obtiene un decimal equivalente al sustraendo, agregándole a éste un 0 a la derecha.