TRIÁNGULOS RECTANGULOS

El triángulo rectángulo es un polígono irregular de tres lados, con tres puntos vértice, con un ángulo recto (α =90˚) y los dos ángulos agudos β y θ suman 90˚.

Los elementos de los triángulos rectángulos son:

•  Dos lados perpendiculares que forman el ángulo recto, se denota como (a y b) y se llaman catetos.
•  El lado diagonal que se denota con la letra c, opuesto al ángulo recto y que se llama hipotenusa.
• La suma de sus ángulos internos es igual a 180˚ β + θ+ α= 180°.

Ejemplo 1: hallaremos el ángulo desconocido en el siguiente triángulo rectángulo.

β + 25º+ 90º= 180º

β + 115º= 180º

β = 180º- 115º

β = 75º

Tipos de triangulo rectángulos:

Vamos a ver dos tipos de triángulos según se da por sus lados y sus ángulos.

1. Triángulo rectángulo isósceles: es el triángulo que tiene dos lados de igual longitud, los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales y un ángulo recto α =90˚.

2. Triangulo rectángulo escaleno: es el que tiene sus tres lados de diferente longitud, sus ángulos de diferentes medidas y un ángulo recto α =90˚.

Área de un triángulo rectángulo:

Como sabemos el triángulo rectángulo tiene un ángulo recto α =90˚, por lo tanto su altura coincide con uno de sus lados a y su base coincide con su lado b. su área es la mitad de la base por su altura y se representa con la letra A.

Perímetro de un triángulo rectángulo: es la suma de sus tres lados.

Perímetro= P = a + b + c

Ejemplo 2: hallemos el área del siguiente triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras

La Escuela Pitagórica, al parecer fundada por Pitágoras, fue una asociación religiosa y política además de filosófica. Para acceder a ella era necesario abstenerse de ciertos alimentos y conservar el celibato (permanecer soltero). . Las enseñanzas de  los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado Pitágoras, fundador de la escuela. La escuela se fue transformando en una hermandad con ritos y ceremonias secretas de las que se sabe muy poco. Este secretismo se extendía a todo lo que rodeaba la escuela, incluidos sus trabajos y descubrimientos matemáticos, por eso no se tiene certeza sobre qué descubrieron y quién lo descubrió.

El enunciado del teorema dice:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Veamos que indica el enunciado.
 El cuadrado que se forma con  el cateto a (cuadrado azul) tiene de área 9 cuadritos, el cuadrado del cateto b (cuadrado amarillo)  tiene 16 cuadritos que es igual a la cantidad  de cuadritos del cuadrado formado por la hipotenusa c (cuadrado rojo)
verificando con un ejemplo el teorema de Pitágoras

 

 

    Esta prueba  se cumple para cualquier triangulo rectángulo

   Lo que lleva a deducir  que para cualquier triángulo rectángulo:    

c² = a²+b²

 

 

El teorema nos sirve para hallar el lado desconocidos del triángulo rectángulo, entonces tenemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados perpendiculares al cuadrado.

c² = a² + b²

 

https://teoremapitagoras.com/

Es importante resaltar que la operación de la ecuación para hallar la hipotenusa (c) es suma y la operación de la ecuación de los catetos (a y b) es resta.

Ejemplo 3: Encontraremos el valor desconocido y luego hallaremos el perímetro del siguiente triangulo rectángulo.

Entonces tomamos la ecuación que nos servirá encontrar el valor de a.

Luego de saber el valor de los tres lados hallamos el perímetro.

P = a + b + c

P = 4.5cm + 4cm + 6cm

 

P= 14.5cm

 

Ejemplo en clase:

Se coloca una escalera al borde de una pared que tiene 3m de altura y la base de la escalera está a 1m de la pared.

a. ¿Cuál es la longitud de la escalera?

Luego hallaremos c utilizando el teorema de Pitágoras.

 

Doblar una hoja de papel formando un ángulo recto como lo muestra la figura.      

 

Calcular el doblez de la hoja (hipotenusa) utilizando el teorema de Pitágoras y verificar esta medida midiendo con un instrumento de medida(hoja cuadriculada ,escuadra o regla.

 

 

 

 

 

Ejemplo 1: Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta un punto situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable?

En este problema nos están pidiendo la longitud del cable, si observamos el cable es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma el problema.

 

 

 

 

 

Se saca la raíz que es igual a: h= 55,9   Luego el cable mide 55.9 metros

 

 

 

   Ejemplo 2: Don Luis va a embaldosar el salón de la casa por que quiere

   colocar una tienda. ¿Como debe tomar medidas para que  la baldosa

   le quede lo mejor posible si solo cuenta con piola y un decámetro.?

 

 

Se mide 80cm por un lado de un cateto,60cm por e l  otro cateto y se acomoda la piola hasta que la hipotenusa del triángulo formado mida 100cm 

                              

 

Con  esta medida(c=100cm) don Luis está seguro que la baldosa  sale siempre perpendicular respecto a uno de sus catetos.