Trigonometría

Trigonometría

Ciclo 5

Aplicaciones de los triángulos rectángulos

Wed, Jul 21, 2021 11:16 AM

 

Solucionar o resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de los tres lados, los tres ángulos, el perímetro y el área.

Para determinar estos valores, se deben conocer tres de los elementos, de los cuales uno de ellos debe ser un lado.

Como todo triángulo rectángulo cuenta con un ángulo recto, es suficiente conocer la medida de uno de los dos ángulos agudos y un lado, o la longitud de dos lados.

En la solución de un triángulo rectángulo se debe considerar lo siguiente:

§La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180°

§  El Teorema de Pitágoras
§La definición de las razones trigonométricas para ángulos agudos en el triángulo rectángulo

Los ángulos agudos son complementarios.

Para resolver situaciones cotidianas que requieran de los triángulos rectángulos es importante tener en cuenta los ángulos de elevación y de depresión.

Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando este está situado arriba del observador y ángulo de depresión al que se va a medir por debajo de la horizontal.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJERCICIOS Y APLICACIONES

 

Figura 1 tomado de: https://matematica-decimo-ieab.blogspot.com/p/angulos-de-elevacion-y-de-depresion.html

 

Ejemplo1

Resolver el siguiente triángulo rectángulo

    Datos conocidos              Datos  para hallar

A= 28°                                b=?      C=?      c=?                      

a= 24cm                            Perímetro =?                                                 Área=?

Solución

Como los dos ángulos agudos son complementarios, se cumple:

C = 90°- A        C= 90°- 28°   Luego      C= 62°

El valor del cateto se halla con la razón trigonométrica tangente

 

El valor de la hipotenusa lo calculamos con el seno

Perímetro= suma de la longitud de los lados

 P= a +b + c = 24cm+51,12cm+45,13cm

P= 120,25cm

El área es el semiproducto de la base por la altura

del triángulo se tiene: 

Ejemplo 2

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8cm y 17 cm. Calcular la medida de los otros elementos.

Solución

El ángulo opuesto al cateto de 8 cm ( θ )se calcula utilizando la razón tangente:

Como los dos ángulos agudos son complementarios, se cumple:  α = 90°- θ     α = 90°- 25°          Luego   α = 65°

 

Con el teorema de Pitágoras calculemos la hipotenusa

 

Perímetro=8cm+18,7cm+17cm     p= 43,7cm

Área:

 

APLICACIONES

Ejemplo 1

Luis dice  que sin subirse puede medir la altura del árbol que se encuentra en el parque de su barrio.

Además cuenta que para medirlo solo necesita una cinta métrica.

¿será posible que Luis conozca la altura del árbol sin subirse?.

SOLUCIÓN

 

Por proporcionalidad se tiene:

AC/DF=CB/FE ; reemplazando se tiene:

H/1.6m = 4.25m/2.22m      

H= (4.25m)(1.6m)/2.22m

H = 3.06m

 

 

Ejemplo 2

Una persona desea saber la distancia que   separa la embarcación del faro 

Conocida la altura del faro y el ángulo que forma la horizontal con el ángulo de elevación , se puede hallar la distancia que separa el barco del faro.

Ejemplo 3

Un piloto de un avión situado en el punto A observa un punto P situado en un terreno con un ángulo de depresión de 30° . Veinte segundos más tarde,

el ángulo de depresión sobre el mismo punto es de 57°. Si el avión vuela horizontamenrte y con una velocidad constante de 200 m/s,¿a que altura se escuentra el avión?