Trigonometría

Trigonometría

Ciclo 5

Medida de ángulos

Sat, Jan 21, 2023 11:25 PM

  ÁNGULOS

Un ángulo lo podemos determinar apartir de dos semirectas con un extremo común. Mientras una semirecta permanece fija, la otra gira para determinar la abertura del ángulo.

la semirrecta fija se llama lado inicial, la semirrecta que gira se llama lado terminal. y el punto común vértice. 

Dependiendo del sentido de rotación el ángulo puede ser positivo o negativo.  

Generalmente los ángulos se denotan con letras griegas o con letras mayúsculas

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Un ángulo está en posición normal si su lado inicial coincide con el semieje positivo X y su vértice esta en el origen del sistema de coordenadas. Este ángulo puede ser positivo o negativo. 

Un ángulo pertenece al cuadrante en el que esté ubicado su lado terminal

 

 


Ángulo del primer cuadrante.

Ángulo del segundo cuadrante.

Ángulo del tercer cuadrante.


Ángulo del cuarto cuadrante.

 

La abertura  de un ángulo expresa su medida. A la rotación completa del lado terminal se le asigna el valor de 1 indicando una vuelta . (1v)

De acuerdo con este concepto veamos estos casos:

MEDIDA DE ÁNGULOS

Los dos sistemas de medidas  que se usan con mayor frecuencia para la medición de ángulos son:

  • Sistema sexagesimal que tiene como unidad de medida el grado 
  • Sistema síclico que tiene como unidad de medida el radian

 La medida de un ángulo se llama amplitud  y se mide en grados y radianes.

 

MEDICIÓN EN GRADOS

Grado.  Es la abertura de un ángulo que se obtiene al dividir una circunferencia en 360 ángulos iguales; es decir cada uno de los 360 ángulos es un grado.

        
Screenshot_5.png

La figura muestra una circunferencia indicando los 360 ángulos iguales,además señala un ángulo que tiene 10 grados(10°).

Esta circunferencia recibe el nombre de transportador y la utilizamos para la medición de ángulos.

 

 

Un ángulo generado por una rotación completa se le asigna el valor de 360 grados(360º)

Al dividir la circunfencia en 360 ángulos iguales, cada uno de ellos representa un grado (1º).

Mediante particiones de la unidad (360º) demos valores en grados en una circunferencia

 

Al dividir un grado en 60 ángulos iguales cada uno de ellos se denomina minuto.

Al dividir un minuto en 60 ángulos iguales cada uno de ellos se denomina segundo.

Un grado (1º) Sesenta minutos (60')
Un minuto (1') Sesenta segundos (60'')

Ejemplo 1.

Transformar el ángulo de  6º14ʹ  a minutos.

1º   →   60ʹ  

6º  →   X            x = 60ʹ(6º) =360ʹ           360ʹ+14ʹ= 374ʹ

Respuesta: 374ʹ

Ejemplo 2.

Escribe en segundos el siguiente ángulo 10º 13ʹ 25ʹʹ. 

      1°   →    60'

        10°  →      X              x = 60ʹ(10°) =600ʹ          

 

  Luego:  600' + 13ʹ = 613ʹ 

  1ʹ  →   60ʹʹ                                                  

 613ʹ   →    X             x = 60ʹʹ(613ʹ) =36780ʹʹ            367 80ʹʹ+ 25ʹʹ= 36805ʹʹ

Respuesta: 36805ʹʹ

Operaciones con ángulos

Suma

  • Paso 1: Colocar los dos números a sumar en forma vertical, y sumar columna por columna:

  • Paso 2 :Si la suma de segundos es superior a 60, restar el resultado con 60. este  resultado se deja en la columna de los segundos.

 

  • Paso 3: Repetir el mismo procedimiento para los minutos:

73ʹ- 60ʹ= 13ʹ   entonces, como  1º  es igual  a   60ʹ , a los grados se le suma 1º

 13ʹ+1ʹ=14ʹ

78º+1º=79º       Respuesta:   78º73′ 72″    →  79º 14ʹ12ʹʹ

 

Resta

  • Paso 1: Colocar los dos números a restar  en forma vertical de tal forma que el minuendo este arriba y el sustraendo abajo , (Las horas sobre las horas, los grados sobre los grados y los minutos sobre los minutos).

         52º 23ʹ 18ʹʹ 

     -  43º 49ʹ 25ʹʹ

  • Paso 2: Si en la resta los segundos del minuendo es menor que los segundos del sustraendo 18ʹʹ˂ 25ʹʹ  entonces a 23ʹ- 1ʹ=22ʹ, ese minuto equivale 60ʹʹ, el cual se le sumará a los segundos.

  como 1ʹ = 60ʹʹ  entonces    18ʹʹ+ 60ʹʹ= 78ʹʹ

Se hace igualmente el procedimiento con los minutos se les resta 1º. Luego se le suma al minuendo 60ʹ

23ʹ˂ 49ʹ   entonces a 52º- 1º= 51º

  1º →  60ʹ

22ʹ+  60ʹ= 82ʹ

  • Paso 3

Hace la operación normal de la resta.

   Respuesta: 8º  33ʹ 53ʹʹ

SISTEMA CÍCLICO

La unidad de medida de este sistema es el radian

Antes de definir que es un radián, recordemos que es un arco.

    ARCO: Es una porción de una circunferencia.

     La longitud del arco (s) en una circunferencia, conociendo el radio (r) y el ángulo (θ) que forman los dos                 radios,  es:

     s = r∙θ

     RADIAN: Es la medida de un ángulo central cuyo arco  mide igual a su radio

   LONGITUD DE LA CICUNFERENCIA                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

La longitud de  la circunferencia es la medida del arco  que la forma en una vuelta  completa

 La longitud de la circunferencia se halla con la fórmula:   

Para calcular a cuantos radianes equivale un arco de una vuelta completa, se aplica la formula

 s = r∙θ        Luego: 

  

.Para una vuelta completa  θ equivale a 360°.

EQUIVALENCIA ENTRE GRADOS Y RADIANES

                          

 

Partiendo de las equivalencias anteriores con una "regla de tres" podemos transformar otras  entre grados y radianes y viceversa. Por lo general y por faciidad se utiliza                         

 180^{\circ} \longrightarrow \pi \: rad

 CONVERSIÓN DE GRADOS  A RADIANES

a)  Convertir  30° a radianes 

 

 

 

Ejemplo 2:

 b)  Convertir  22° a radianes                   

 

                                          CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS

EJEMPLO 3:   Convertir  a grados  

           

     

 

                                                                                                                                                                                                                     

 

 

 

 

 

Actividad

 

INSTITUTO MODERNO AMERICANO

TALLER

1.  Completa las frases:

a)  Dos ángulos son complementarios cuando suman:________

b)  Dos ángulos son suplementarios cuando suman:_________

  1. Dibuja los ángulos en un mismo plano cartesiano      
  2.   a.  30º         b. 120º                 c.  225º         d.   - 60º        

     4 Transforma los ángulos a minutos.                

     a.  4º          b. 36º         c.   5º15ʹ           d.  38º31ʹ  

     5. Escribe en segundos los siguientes ángulos.

      a. 18º20ʹ3ʹʹ      b. 2º16ʹ      c. 23ʹ10ʹʹ

  6      Realiza las operaciones.

      a.  40º12ʹ8ʹʹ + 16º3ʹ17ʹ

     b.    63º39ʹ27ʹʹ  -  24º40ʹ13ʹʹ

7. Expresa los siguiuentes angulos en radianes:

a. 83vueltas      b. 14vueltas         c. 270º

8. convierte los ángulos a grados y dibuja en el plano cartesiano cada ángulo

a. π3rad         b. 2π3rad       c. π2rad