NÚMEROS REALES

                 

   

$\frac{45}{8}=5,625$ es un decimal exacto, y  $\frac{65}{3}=21,666$ es un decimal periódico     

Expresión de un decimal a fracción

 Ver el siguiente vídeo

 Comparación de fracciones positivas
Para comparar fracciones positivas puedes utilizar los siguientes métodos;

a) Para comparar fracciones positivas con igual denominador, es menor la que tiene menor numerador.

Ejemplo: Si comparas las fracciones 5/9, 2/9 y 4/9, y las ordenas de mayor a menor quedarían de la siguiente forma;

b) Para comparar fracciones positivas con igual numerador, es menor el que tiene mayor denominador.

Ejemplo: Si comparas las fracciones 3/8, 3/7, 3/13, 3/5, y las ordenas de mayor a menor quedarían de la siguiente forma;

c) Para dos  fracciones positivas con numeradores y denominadores distintos  se multiplica el numerador de la primera  fracción

con el denominador de la segunda y colocamos debajo de la primera fracción su producto, luego se efectúa el mismo paso con la segunda fracción 

y colocamos el resultado debajo de la segunda fracción, seguidamente comparamos resultados. Si el resultado es mayor  en la primera fracción

entonces esta fracción es la mayor en caso contrario será  la menor.

Ejemplos:

Como 40 es menor que 42                              Como 54 es mayor que 35

5/6  es menor que 7/8                                       9/7 es mayor que 5/6 

FRACCIONES EQUIVALENTES

Son aquellas fracciones que representan la misma cantidad.

Observe la siguiente imagen:

La primera figura está dividida en dos partes y hemos coloreado una de ellas. Por lo tanto, su fracción es 1/2.

La segunda figura la hemos dividido en 4 partes y hemos coloreado dos. Por lo tanto su fracción es 2/4.

Y la tercera figura la hemos dividido en 8 partes y hemos coloreado 4, por lo que su fracción es  4/8.

La parte coloreada en todas las figuras es la misma aunque las fracciones son diferentes.

Es decir, las fracciones 1/2, 2/4, y 4/8 son equivalentes.

Expresado mediante una fórmula queda así:

$\frac{a}{b}= \frac{c}{d} si ad=bc ( Se efectúa la multiplicación cruzada)$

Ejemplos

Comprobemos si 2/5 y 4/10 son equivalentes.

Como el resultado es el mismo, podemos decir que 2/5 y 4/10 son fracciones equivalentes.

Para ello se multiplicó el numerador de una de las fracciones por el denominador de la otra

y se repite el proceso cambiando de fracción.

Ejemplo 2

Ahora vamos a comprobar si 5/7 y 4/3 son fracciones equivalentes.

Se multiplica, como muestra la imagen:

Como el resultado no es el mismo, podemos decir que 5/7 y 4/3 no son equivalentes.

Cuando se desconoce un valor en un par de fracción equivalentes, se utiliza la multiplicación cruzada

 Ejemplos:  Hallar el valor  de x

$\frac{3}{4}=\frac{9}{x} si 3x= 9 \times 4 3x=36 x=\frac{36}{3} x=12$

$\frac{x}{4}=\frac{15}{20}=sii 20x=4 \times 15 20x=60 x=\frac{60}{20} x=3$

 Para hallar fracciones equivalentes se tilizan  los métodos de ampliaciín y reducción:

Amplificación

Multiplicando numerador y denominador por el mismo número.

Ejemplo: Partiendo de la fracción 2/3 y multiplicando el numerador y el denominador por 2, se obtiene

 las  fracciones equivalentes  4/6,  8/12 , 16/24,...

$\frac{2}{3}=\frac{2x2}{3x2}=\frac{4}{6} \frac{4}{6}=\frac{4x2}{6x2}=\frac{8}{12} \frac{8}{12}=\frac{8x2}{12x2}=\frac{16}{24}$

 Simplificación

Dividiendo numerador y denominador por un divisor común de ambos

Ejemplo1 : Simplificar  12/30

$\frac{12}{30}=\frac{12÷2}{30÷2}=\frac{6}{15} \to \frac{6}{15}=\frac{6÷3}{15÷3}=\frac{2}{5}$

Por tanto las fracciones  12/30 ,  6/15  y  2/5 son equivalentes.

Ejemplo 2 :  Simplificar 2/8

                                                                OPERACIONES BÁSICAS EN Q 

Los números irracionales surgen por la imposibilidad de resolver en los racionales ciertos problemas.

Por ejemplo, si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno (1),

esto no es posible hacerlo en el conjunto de los Q, ya que por el Teorema de Pitágoras,

este valor es  $\sqrt{2}$, que no es un Q puesto que no se puede expresar como una fracción, porque tiene infinitos

decimales y no presenta período.  

 Hallemos el valor de √2      

Valor de  $\sqrt{2}=1.41421356237309...$

 El conjunto de los números irracionales se representa por I y está formado por todos los números decimales cuya

parte decimal tienen infinitas cifras periódicas, es decir, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros.

Ejemplos de otros números irracionales

Raices no exactas como por ejemplo:

Valor de $\mathrm{\pi }$,   L= Longitud de la circunferencia     D= Diámetro

La unión de los racionales con los irracionales conforman los números reales

Todo número real le correponde un punto sobre la recta y cada punto sobre la recta le corresponde un número real