Matematicas (nivel 1)

Matematicas (nivel 1)

Ciclo 4

NÚMEROS REALES

8366

Thu, Jul 11, 2024 10:01 PM
 

El conjunto de los números reales  los conforman los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Se representa con la letra   

 

 

A continuación se hace un recorrido superficial  iniciando con los números naturales hasta llegar a los números reales para mostrar la necesidad de creación de cada conjunto numérico 

NÚMEROS NATURALES ( N )

Los números naturales son los que se utilizan  para contar, ellos son:

N = { 1,2,3,4,5,6,...,14,15,16,17,...485,486,487,...}

Ejemplos

La profesora tiene en el salón de clase 8 estudiantes

 

Poblacion del departamento del Meta en diferentes años. 

 

Al ubicar cada grupo de elementos con su número vemos por ejemplo que a los conos les corresponde el número 4

 

Si se ubican en una recta numérica quedan así:

 

Naturales con el cero:

Operaciones en  N

Suma

Ejemplos:  24+38 = 52           18+25+12= 55   ( Siempre existe un número natural para el resultado de dos o vario sumandos)

  En los números naturales se cumple la suma

Resta o Diferencia

Ejemplos

   Se cumple la resta

Pero si el minuendo es menor que el sustraendo?

   S i a 35 le restamos  40 no  existe un número natural como diferencia

     En los naturales no siempre se cumple la resta

Situaciones como esta motivaron  a crear otro conjunto numerico.

 

NÚMEROS ENTEROS ( Z )

Los números enteros lo forman los naturales o enteros positivos y los negativos.

Z={...-325,-324,-323,...-23,-22,-21,...-3,-2,-1,0,1,2,3,...,25,26,27,...481,482,...}

 

Se diceque todo número natural tiene su opuesto y viceversa 

 El opuesto del número a, es -a y   está a la misma distancia del cero en la recta             

Ejemplo:El opuesto de 5  es  -5; de la misma forma el opuesto de -5  es  5. Ambos estan a la misma distancia del cero(0)

Los números enteros se utilizan para representar situaciones opuestas

Ejemplos:

CUANDO SE HABLA DE TEMPERATURAS BAJO CERO Y SOBRE CERO.

En verano Villavicencio presenta temperaturas de 35°C         

 

 En invierno Canadá presenta tempereturas de (-10°C

                                                                                                                                   

 

 CUANDO SE HABLA DE AÑOS ANTES O DESPUÉS DE CRISTO

Pitágoras nació en el año 582 antes de Cristo  (-582)                                Bolivar nació en el año 1783                                

                     

 

. CUANDO TENEMOS PERDIDAS O GANANCIAS

Miguel en su empresa perdió  $800.000 →(-800.000)                   Luis en su empresa ganó  $800.000

                                                                 

 

Operaciones en Z

Suma o Adición

Para efectuar la operacion, sumamos aparte los positivos y aparte los negativos y luego restamos estas cantidades

Ejemplo: Efectuar las sigientes sumas

  a)          -35 + 28 + 36+ (-15)                                                                       b)      39 + (-28) +(-56) + 12                               

                                       

 

     En los números enteros se cumple la suma

 

 

Resta o Diferencia

En los Z se define la resta como la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo así:

Si a y b son números enteros ,se cumple: a - b = a + (- b)

Ejemplos: Efectuar las siguientes restas

           a)   35 - 56                       b)   35 - (-56)                      c)     -35 -  56                              d)    -35 -(-56) 

Solución:

 a)    35 - 56    =    35 +(- 56) =  -21

b)    35 - (-56) =    35+ 56     =   91

c)    -35 - 56   =   -35+ (- 56) = 21

d)    -35 -(-56)  = - 35 +(- 56) = -91

En este ejemplo se evidencias los cuatro  casos de números enteros que se pueden presentar en una resta:

positivo - positivo        positivo - negativo          negativo - positivo  y  negativo - negativo

     En los enteros negativos se cumple la resta

Multiplicación

Para multiplicar dos números enteros se multiplican como si fueran números naturales; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo,

y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo. Esto indica que se debe tener en cuenta la ley de los signos.

LEY DE LOS SIGNOS                                                                                  EJEMPLOS                         

                            

     En los números enteros se cumple la multiplicación

 

División

Ejemplo  

         Se cumple la división.

Pero si el dividendo no es multiplo del divisor?

Si a 48 lo dividimos entre -5, no existe un número entero como cociente

     En los enteros no siempre se cumple la división

Situaciones como esta motivaron  a crear otro conjunto numérico.

 

NÚMEROS RACIONALES ( Q )

Los números Racionales lo forman los números enteros y los números fraccionarios.

Los números enteros  se pueden escribir en forma de fracción

Ejemplos: 

-8 =-162=-243=-324 ...           6=122=183=244...

 

Por lo tanto se verifica que todo número racional  se pueden escribir de la forma  ab

Ejemplos de números racionales

 

45,  32, -53, 8, -254, 0, -73

 

Ubicación de números racionales en la recta numérica

Para la ubicación de números racionales, ver el siguiente vídeo

 
Expresión de una fracción  a decimal
Los números racionales en forma de fracción  ab, se representan tambien como decimal efectuando la división

Ejemplo: Expresar a decimal 25/4

Para realizar la conversión se efectua la división  hasta que residuo sea cero   

                  En caso contrario , se agrega un cero(0) al residuo y una coma(,) al divisor, y se continua hasta obtener cero(0)

como nuevo residuo.Si el residuo no llega a ser cero(0) entonces la fracción es periódica. 
 

Ejemplos:Expresar como decimal las fracciones 45/8 y 65/3

 
 
   

458=5,625  es un decimal exacto, y  653=21,666  es un decimal periódico     

 

Expresión de un decimal a fracción

 Ver el siguiente vídeo

  

 

 

 

 

 
Aplicaciones de los números Racionales
Además de sus aplicaciones como número natural y entero, los números racionales se utilizan para medir.
Ejemplos:
Partir una torta en 8 partes iguales, cada porción representa  1/8        La estatura de Juán es de 1,38m y de  Luis 1,52m
                                              
 
La hora en diferentes puntos de la Tierra o ciudades del mundo
Cuando en Bogotá, Colombia,  falta  1/ 4  para las 8 de la mañana, en Buenos Aires, Argentina,  
 falta 1/ 4 para las 10 de la mañana, en Roma, Italia, falta  1 /4  para las 2 de la tarde; en Ciudad  
 del Cabo, África, falta  1/ 4  para las 3 de la tarde; en Tokio, Japón, falta  1/ 4  para las 10 de la noche
 
 

 Comparación de fracciones positivas
Para comparar fracciones positivas puedes utilizar los siguientes métodos;

a) Para comparar fracciones positivas con igual denominador, es menor la que tiene menor numerador.

Ejemplo: Si comparas las fracciones 5/9, 2/9 y 4/9, y las ordenas de mayor a menor quedarían de la siguiente forma;

b) Para comparar fracciones positivas con igual numerador, es menor el que tiene mayor denominador.

Ejemplo: Si comparas las fracciones 3/8, 3/7, 3/13, 3/5, y las ordenas de mayor a menor quedarían de la siguiente forma;

c) Para dos  fracciones positivas con numeradores y denominadores distintos  se multiplica el numerador de la primera  fracción

con el denominador de la segunda y colocamos debajo de la primera fracción su producto, luego se efectúa el mismo paso con la segunda fracción 

y colocamos el resultado debajo de la segunda fracción, seguidamente comparamos resultados. Si el resultado es mayor  en la primera fracción

entonces esta fracción es la mayor en caso contrario será  la menor.

Ejemplos:

                                    

Como 40 es menor que 42                              Como 54 es mayor que 35

5/6  es menor que 7/8                                       9/7 es mayor que 5/6 

 

FRACCIONES EQUIVALENTES

Son aquellas fracciones que representan la misma cantidad.

Observe la siguiente imagen:

 

La primera figura está dividida en dos partes y hemos coloreado una de ellas. Por lo tanto, su fracción es 1/2.

La segunda figura la hemos dividido en 4 partes y hemos coloreado dos. Por lo tanto su fracción es 2/4.

Y la tercera figura la hemos dividido en 8 partes y hemos coloreado 4, por lo que su fracción es  4/8.

La parte coloreada en todas las figuras es la misma aunque las fracciones son diferentes.

Es decir, las fracciones 1/2, 2/4, y 4/8 son equivalentes.

 

             Dos fracciones son equivalentes  si  los productos del   numerador de una y el denominador de la otra son iguales. 

Expresado mediante una fórmula queda así:

ab= cd   si  ad=bc  ( Se efectúa la multiplicación cruzada)

Ejemplos

Comprobemos si 2/5 y 4/10 son equivalentes.

Como el resultado es el mismo, podemos decir que 2/5 y 4/10 son fracciones equivalentes.

Para ello se multiplicó el numerador de una de las fracciones por el denominador de la otra

y se repite el proceso cambiando de fracción.

Ejemplo 2

 

Ahora vamos a comprobar si 5/7 y 4/3 son fracciones equivalentes.

Se multiplica, como muestra la imagen:

Como el resultado no es el mismo, podemos decir que 5/7 y 4/3 no son equivalentes.

Cuando se desconoce un valor en un par de fracción equivalentes, se utiliza la multiplicación cruzada

 Ejemplos:  Hallar el valor  de x

34=9x   si    3x= 9 × 4          3x=36          x=363            x=12

x4=1520=sii   20x=4 × 15       20x=60       x=6020              x=3

 
 Para hallar fracciones equivalentes se tilizan  los métodos de ampliaciín y reducción:
Amplificación

Multiplicando numerador y denominador por el mismo número.

Ejemplo: Partiendo de la fracción 2/3 y multiplicando el numerador y el denominador por 2, se obtiene

 las  fracciones equivalentes  4/6,  8/12 , 16/24,...

 

23=2x23x2=46           46=4x26x2=812         812=8x212x2=1624

 

 Simplificación

Dividiendo numerador y denominador por un divisor común de ambos

Ejemplo1 : Simplificar  12/30

1230=12÷230÷2=615                615=6÷315÷3=25 

Por tanto las fracciones  12/30 ,  6/15  y  2/5 son equivalentes.

Ejemplo 2 :  Simplificar 2/8

 

                                                                OPERACIONES BÁSICAS EN Q 

 
 
 

 

Propiedades de adición y multiplicación en  Q
 
 
 
 
Para los ejercicios de las propiedades en Q, los invito a ver el siguiente vídeo
 
 
 
NÚMEROS IRRACIONALES ( I )
 
 

Los números irracionales surgen por la imposibilidad de resolver en los racionales ciertos problemas.

Por ejemplo, si se quiere calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno (1),

esto no es posible hacerlo en el conjunto de los Q, ya que por el Teorema de Pitágoras,

este valor es  2, que no es un Q puesto que no se puede expresar como una fracción, porque tiene infinitos

decimales y no presenta período.  

 Hallemos el valor de √2      

Valor de  2=1.41421356237309... 

 El conjunto de los números irracionales se representa por I y está formado por todos los números decimales cuya

parte decimal tienen infinitas cifras periódicas, es decir, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros.

Ejemplos de otros números irracionales

Raices no exactas como por ejemplo:

Valor de π L= Longitud de la circunferencia     D= Diámetro

 

La unión de los racionales con los irracionales conforman los números reales

Todo número real le correponde un punto sobre la recta y cada punto sobre la recta le corresponde un número real

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad

TALLER

1.  Escribir en el rectángulo de al lado el valor de la fracción que corresponde a la fracción coloreada

2.  Ordena de mayor a menor estas fracciones:

   37  ,  94 ,  88 ,  25

3. Expresar en forma de fracción :

   24.58         0.32        3.4816         0.242424...        48.333...              

4.   Expresar en forma decimal

    45/4            35/8         15/7

5.  Ubicar en la recta numérica

    5/8         59/8               -5/2

11/6        5/4         -8/3       57/8

6.  Cada fracción de la fila de arriba es equivalente a otra de abajo, organizar segun su fracción equivalente en la tabla:

   93 , 1449 , 64, 91 , 88 , 106

    5/3,    24/24, 36/4 ,  3/2,  2/7  36/12

Fracción 9/3 14/49 6/4 9/1 15/15 10/6
Fracción Equivalente            

 

7. Escriba el término que hace falta en estas fracciones equivalentes

a)    26 = 5x           b)   26= x24

8.  Simplifica hasta obtener la fracción irreducible:

a)  2460                          b)7042                          c)  112/168

Resolver

9-45 +72-14=                   116+-72+53=

 

10. Dar un ejemplo de cada propiedad de la suma y multiplicación en números racionales

11. Escribir 4 números  irracionales con al menos 10 decimales