ECUACIONES Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones:

adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas forman los llamados polinomios.

Los polinomios no solo están en la base de la informática, la economía, los cálculos de intereses y en gestiones hipotecarias que se realizan con expresiones polinómicas, sino que también se encuentran en la medicina y otras ramas de la ciencia, que avanzan también gracias a esta herramienta algebraica. Además las las expresiones algebraicas se utilizan  en la vida cotidiana. 

EJEMPLOS

• Longitud de la circunferencia: L = 2nr, donde r  es el radio de la circunferencia.

     

• Área del triángulo         ,      donde b es la base y h la altura   

• Ecuación de la circunferencia con centro en el origen:  x²  +  y² = r²   

 

                                                             ECUACIONES

 

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o varias cantidades desconocidas

llamadas  incógnitas. La parte izquierda de la ecuación es el primer miembro y la parte derecha es el segundo miembro

 

Toda ecuación de la forma:   a x + b = c,  Donde  a,b  $<span\; style="font-size:16px;">\in </span>$  R   y  a $<span\; style="font-size:16px;">\ne </span>$ 0 se llama ecuación de primer grado o 

ecuación lineal.

Resolver una ecuación implica encontrar el valor de la incógnita que satisface la igualdad. Ese valor es la solución .

Para resolver una ecuación lineal, primero adicionamos el opuesto de b a ambos miembros de la ecuación

y después multiplicamos por el recíproco de a a ambos miembros de la ecuación.Luego la transformamos en una ecuación

equivalente a la inicial,hasta despejar la incógnita utilizando las propiedades de la adición y de la multiplicación.

Ejemplos:

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones:

   5x  -  20  = 120

5x - 20 + 20 = 120 + 20       Se adiciona el opuesto aditivo de - 20 a ambos miembros de la ecuación.                

              5x = 140                Se efectuó la suma de los opuestos 

                            Se divide por 5 ambos miembros de la ecuación

                                           Se  efectuó la división

 

En la practica se utiliza la transposición de terminos

. Para la solución por este método  se puede atender al concepto de ecuaciones equivalentes:

Dos ecuaciones son equivalentes si al resolverlas se obtiene el mismo resultado.

 

Tomando esta definición y tratando de resumir las propiedades de las desigualdades, se podrían derivar las siguientes “reglas”:

Lo que esté sumando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro restando.

Lo que esté restando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro sumando.

Lo que esté multiplicando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro dividiendo.

Lo que esté dividiendo en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro multiplicando.

La división por cero(0) sólo tiene solución cuando el cero(0) está en el numerador. 

Resolvamos nuevamente el  ejercicio anterior, teniendo en cuenta estas reglas:

   5x  -  20  = 120

            5x = 120 + 2O      -20 Pasó al miembro derecho a sumar

            5X = 140               se efectuó la suma

                   X  = 140/5              5 pasó a dividir

                 X =   28                 Se efectuó la división

Para saber hacer la prueba, se remplaza el valor hallado en la ecuación original

si se verifica la igualdad, indica que el valor hallado es la solución de la ecuación, es decir el valor que la hace verdadera.

 Prueba:

         5x  -  20  = 120

          5(28) - 20     =   120

          140  -  20     =   120

                 120        =  120 

 Se verifica  que el resultado del miembro izquierdo es igual al del miembro derecho.

Ejemplo 2

Hallar el valor de x

9x - 14 - 3x = 6 + 2x - 8

9x -  3x - 2 x = 6 - 8 + 14   Agrupamos términos semejantes

4x = 12  

 x=12/4     →  x = 3

Los invito a ver el siguiente vídeo.

 

 

PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Muchas situaciones de la vida diaria  pueden plantearse en términos de ecuaciones y por tanto, una vez planteadas,

pueden resolverse.

El éxito alcanzado para resolver un problema , depende de la habilidad que se adquiera en la traducción del lenguaje usual

a un lenguaje matemático.

veamos algunos  Ejemplos

 LENGUAJE  USUAL                                                                            LENGUAJE MATEMÁTICO

El doble de un número   aumentado en 3 equivale a  253                                      2x+3 = 253

Las tres cuartas partes de un número aumentado en 5   equivale a 25                   $\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">3</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}<span\; style="font-size:16px;"> <span\; style="font-family:\; sans-serif,\; Arial,\; Verdana,\; "Trebuchet\; MS",\; "Apple\; Color\; Emoji",\; "Segoe\; UI\; Emoji",\; "Segoe\; UI\; Symbol";">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">5</span>}$= 25

El triple de un número disminuido en 2  es igual a  28                                            3x - 2 =   28

10 más el doble de un número equivale a 35                                                         10 + 2x = 35

 

APLICACIONES

Pasos para resolver ecuaciones 

1.   Leer cuidadosamente el problema.Determinar cuales son las cantidades conocidas y cuales las buscadas.
2.   Escoger una variable que represente el valor buscado en el problema.
3.  Leer nuevamente el problema y plantear  una ecuación que represente la ecuación ente los datos del problema. 
4.  Resolver la ecuación.
5.  Comprobar la solución  con el planteamiento inicial del problema.  

 Ejemplo 1

Un estudiante gasta la mitad de su dinero en el descanso y una cuarta parte en transporte. Si al final queda con $6000 

¿Cuanto dinero tenía?

1.La cantidad conocida es lo que le quedó:  $6000    y   la desconocida es el dinero que tenía

2. Llamaremos  x  a la cantidad  de dinero que tenía ,    $\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">2</span>}}$,dinero gastado en el descanso, 

 y        $\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4</span>}}$ ,dinero  que gastó en transporte

3. Después de hacer sus gastos le quedó:           

           $\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}<span\; style="font-size:16px;"> </span><span\; style="font-size:16px;">-</span><span\; style="font-size:16px;"> (</span>\left(\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">2</span>}}<span\; style="font-size:16px;"> </span><span\; style="font-size:16px;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4)</span>}}\right)$                 ⇒               $\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}<span\; style="font-size:16px;"> </span><span\; style="font-size:16px;">-</span><span\; style="font-size:16px;"> (</span>\left(\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">2</span>}}\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4)</span>}}\right)<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">6000</span>}$        

4. Solución de la ecuación

5. El estudiante tenía $ 24.000

 

Ejemplo 2

Para la fiesta de grado varios jóvenes deciden comprar una lechona aportando cada uno $20.000. Al momento de hacer la compra tres de ellos no pudieron dar su cuota y cada uno de los otros debió dar $25.000 para cubrir el precio de la lechona. 

¿Cuántos jóvenes aportaron para la lechona?

Solución

¿Cuánto costó la lechona?

Si llamamos x al número de jóvenes, el precio se puede expresar así:

20.000 x = precio de la lechona

El precio anterior fue asumido por (x-3) jóvenes, que debieron aportar

$25.000 cada uno, de donde:

20.000 x = 25.000 (x – 3)

Hallamos el valor de x:

20.000 x = 25.000 x – 75.000

20.000 x – 25.000 x = – 75.000

– 5.000 x = – 75.000

x =-75.000/-5.000

x = 15

Luego 15 jóvenes dieron para la lechona.

Precio de la lechona  20.000x  →    20.000(15) =  300.000 

La lechona costó $300.000

Para más problemas resueltos ver el siguiente vídeo:

 

 VALOR NUMÉRICO DE  UNA  EXPRESIÓN ALGEBRAICA

 OPERACIONES ALGEBRAICAS

SUMAR POLINOMIOS:

Para sumar y restar  basta saber lo que se refiere a la reducción de los términos semejantes.De aquí en adelante, representamos con una P la palabra polinomio.
Si un polinomio está ordenado con respecto a una letra, por ejemplo, la ‘x’ escribimos P(x) que se lee: “pe de equis”.

P(a) sería un polinomio ordenado respecto a la letra ‘a’.
Si tenemos 3 polinomios ordenados respecto a la misma letra a la primera P le colocamos el subíndice 1, a la segunda el 2, etc.

 Sumar los polinomios:

Solución:

Primero los ordenamos y completamos:

Una vez colocados debidamente, reducimos los términos semejantes:

Respuesta:       

RESTAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Comencemos con la resta entre monomios:
(4a) –(−2a) –(−3b) –(−5b) –(2c) –(−3b) –(−5b) –(2c) + c.
Eliminando los paréntesis, resulta:
4a+2a+3b+ 5b–2c+3b+5b – 2c – c

Agrupando  términos semejantes resulta:

= (4a +2a) + (3b+5b) + (-2c -2c + c )
   Reduciendo terminos semejantes resulta
= 6a+8b–3c

Otro ejemplo:

Y ahora veamos la resta con polinomios:
(8m+6n) – (-2m–5n) – (18m+12n) – (5m – 4n)  
Eliminando paréntesis se cambian los signos de los polinomios que tienen el signo menos(-) antes

8m + 6n +2m +5n -18m -12n - 5m +4n 

Agrupando términos semejantes

(8m + 2m -18m - 5m) + (6n +5n -12n +4n)

Reduciendo términos semejantes:
- 13m + 3n 

 

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Multiplicación 

Para la multiplicación debemos tener en cuenta la ley de los signos y la propiedad de potencias de igual base:

Ley de signos

• La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
• La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa

 

Propiedad de potencias de igual base:

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 ( 2x3 – 3 x2 + 4x – 2) =  6x3 – 9x2 + 12x – 6

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplica el monomio por todos y cada  uno de los términos del polinomio

3 x2(2x3 – 3x2 + 4x – 2) = 6x5 – 9x4 + 12x3 – 6x2

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

P(x) = 2x2 – 3    Q(x) = 2x3 – 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x2 – 3) · (2x3 – 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

La forma vertical es la forma más apropiada para resolver multiplicación de polinomios

Para entender con mayor claridad la multiplicación de polinomios los invito a ver los siguientes videos del profe Alex.

 

https://www.youtube.com/watch?v=6-1NJt3-lTg&t=212s&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex    

División de monomios

Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes

Ejemplo:

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.

Ejemplo:

restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:

División de polinomios entre polinomios

La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;

Si se tiene la división

1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división:

2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–2x 2 ) por el primer término del divisor (x):

3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.

4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior.

Se ha obtenido cociente –2x + 3 y resto 0

Para entender con mayor claridad la división de polinomios los invito a ver los siguientes videos del profe Alex.

https://www.youtube.com/watch?v=udNePIkZt6E&t=198s&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

https://www.youtube.com/watch?v=gpBEUnFBhGc&t=174s&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

 

PRODUCTOS NOTABLES

BINOMIO DE SUMA AL CUADRADO

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2  ab + b²

(x + 3)² = x ² + 2  x .3 + 3 ²

              = x ² + 6 x + 9

BINOMIO DE RESTA AL CUADRADO

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2  ab + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b (a − b) = a² − b²

(2x + 5)(2x – 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

BINOMIO DE SUMA AL CUBO

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

BINOMIO DE RESTA AL CUBO

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x – 3)³ = (2x)³ – 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² – 3³ =

= 8x ³ – 36 x² + 54 x – 27

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² – 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6