FACTORIZACIÓN

Factorizar significa expresar en factores, es decir, expresar en términos o valores que se multipliquen.
 

Antes de iniciar la factorización recordemos los conceptos de factores primos, maximo común divisor y mínimo común multiplo

Factores primos
Al considerar un grupo de factores del número 12, como el 2 y el 6, se tiene que
el primero es primo, pero el segundo no. Sin embargo, el 6 a su vez se puede expresar como el producto entre 2 y 3, que sí son números primos. Por lo tanto:
12 = 2 X 2 X 3 Luego 12 = 2² x 3
La expresión de un número como producto de sus factores primos se llama Descomposición en factores primos.
Al calcular los factores primos de un número, se debe comenzar por los factores menores. Después de seleccionar el menor de los factores primos, se divide el número entre este. Luego, se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se repite el procedimiento hasta que el cociente sea 1.
Entonces, el número es igual al producto de los factores primos entre los que se dividió.
Ejemplo 1
La descomposición del número 120 en sus factores primos se hace de esta manera:

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El mayor de los divisores comunes de dos o más números naturales se llama
máximo común divisor. Se designa con la expresión M.C.D.
Un procedimiento sencillo que se utiliza para encontrar el M.C.D. de dos o más
números es la descomposición en factores primos.
Ejemplo
Para hallar el MCD de 12, 36 y 20, primero se descomponen los números en sus factores primos. Es decir:

 

Luego, se toman todos los factores comunes elevados al menor exponente y se multiplican con los primos que quedaron de la descomposición.
En este caso, el único factor que tienen en común los tres números es el 2²
Por lo tanto, el MCD.(12, 18, 20)= 4

Mínimo común múltiplo
El menor de los múltiplos comunes, diferente de cero, de dos o más números
naturales se llama mínimo común múltiplo y se abrevia con la expresión m.c.m.
Para hallar el m.c.m. de dos o más números, estos se descomponen en factores primos.
Ejemplo
El m.c.m. de los números 12, 36 y 20 se calcula terminando la descomposición hasta obtener solo unos:

El proceso que consiste en encontrar varios números cuyo producto sea igual a un número dado se conoce con el nombre de factorización.
Por ejemplo:
3 y 5 son factores de 15, porque (3)(5) = 15.
2 y a son factores de 2a, porque (2)(a) = 2a.
Los factores de 45x²y³ son 45, x² y y³, porque (45)(x²)(y³) = 45x²y³.
También 9x² y 5y³ son factores de 45x²y³, porque (9x²)(5y³) = 45x²y³

Extracción del factor común
Dada una expresión algebraica, observamos las letras que se repiten en sus términos,si las hay. Y también revisamos si en sus coeficientes hay un máximo
común divisor (MCD).
Por ejemplo, en la expresión 6x³ + 3x² + 9x, la x se repite en cada término y 3 es
el MCD de 6, 3 y 9, entonces 3x es el mayor factor común o, máximo factor común.
CASOS DE FACTORIZACIÓN

Factor común en todos los términos
Factorizar  6a⁴ + 36a³ + 60a²
Máximo factor común de 6a⁴ + 36a³ + 60a² es  6a².( Porque 6 es el número mayor que divide a 6, 36 y 60   y a² está en los tres términos y es la de menor exponente,luego 6a² divide exactamente cada termino)  
  Por lo tanto, 6a² (a² + 6a + 60 ) = 6a⁴ + 36a³ + 60a².
 

 Métodos utilizados para factorizar un polinomio. 
Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1. 

Por ejemplo, el polinomio ax + by + cz, no se puede factorizar ya que, solo es divisible por ax + by + cz y por 1. Es decir, este polinomio no tiene un factor en común.
Para poder factorizar una expresión algebraica es necesario que  exista  al menos un factor en común dentro de sus términos, ya sean números y/o letras.

2.1- Factor común polinomio.

Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común.

Para calcular el factor común de un polinomio, se halla el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por el máximo común divisor de la parte literal.

Identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común.

Para factorizar el polinomio 3x³ + 12x² + 6x por el factor común se debe:

• Determinar el factor común de los coeficientes del polinomio.

3x³ +12x² + 6x             m.c.d.(3, 12, 6) = 3

• Hallar el máximo común divisor de la parte literal del polinomio.

3x³ + 12x² + 6x         m.c.d.(x³ , x² , x) = x (Se selecciona la letra de menor exponente)

• Expresar el polinomio como el producto entre el factor común y el cociente de dividir cada término entre este factor.

3x (x² + 4x + 2)                                                       

Factor común: Es el producto del coeficiente común por la parte literal común. Cociente: es el resultado de dividir el polinomio entre el factor común.

Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común. Veamos otros ejemplos:

 a) Factorizar  x²y + x²z.
Identificamos el factor común de x²y  y  x²z el cual es x², entonces dividimos los términos de la expresión por x²

x²y  ÷  x² = y     y    x² z  ÷ x² = z. Ahora escribimos la factorización:

 x² y + x² z = x² ( y + z )
 
 
b) Factorizar 8 m² - 12 mn.
Identificamos el factor común de 8 m² y 12 mn el cual es 4m, entonces dividimos los términos de la expresión por 4m:

 8 m² ÷ 4m = 2m   y     12 mn  ÷  4m = 3n. Ahora escribimos la factorización;
8 m² – 12 mn = 4m(2m – 3n)
 
 Factor Común polinomio o por agrupación de términos.
Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen algún factor en común, puedes realizar una agrupación en paréntesis de los términos que si tienen, y así podrás factorizar.
Generalmente la agrupación puede hacerse de varios modos, lo importante es que siempre los términos que se agrupen tengan algún factor en común. Independiente de cómo se agrupen los términos, el resultado será el mismo.
Ejemplos;
 Factorizar la expresión a m + b m + a n + b n.
Podemos ver que, los dos primeros términos tienen el factor común m y los dos últimos el factor común n. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro, precedido de un signo +, ya que es el signo del tercer término.

 am + bm + an + bn = (am + bm) + (an + bn)

Luego sacamos el factor común de cada paréntesis, y nos queda el binomio  en común (a + b), que se anota como producto de (m + n).

    am + bm + an + bn  =   m(a + b)   + n( a + b)    

    am + bm + an + bn  =   (a+b)(m+n)

 
En este mismo ejemplo, podemos agrupar el primer y el tercer término que tienen el factor común a, y el segundo y cuarto término que tienen el factor común b, sacamos el factor común de los paréntesis y nos queda el binomio en común (m + n), que se anota como producto de (a + b).
 
 Nos da el mismo resultado, ya que el orden de los factores no altera el producto.

 

Entonces, para factorizar la expresión 2x² + 4x + 3xy + 6y

1. Se agrupan términos que tengan algún factor común  (2x² + 4x) + (3xy + 6y)
2. Se factoriza cada grupo de términos.  2x(x + 2) + 3y(x + 2)
3. .Se factoriza la nueva expresión común, en este caso (x + 2).

(x + 2) (2x + 3y) Por lo tanto:   2x² + 4x + 3xy + 6y = (x + 2) (2x + 3y)

 
 Factorizar la expresión 6 m – 9 n + 21 n x – 14 m x.

Agrupamos los términos 1 y 2 que tienen factor común 3 y los términos 3 y 4 que tienen el factor común 7 x.
 (6 m – 9 n) +( 21 n x – 14 m x)

Se factoriza cada grupo de términos.

3(2m – 3n) + 7x (3n – 2m) = 3(2m – 3n) - 7x (2m – 3n)

En este caso cambiamos el signo al segundo binomio

Se factoriza la nueva expresión común, en este caso  (2m-3n)

(2m- 3n) (3-7x)   por lo tanto:  6 m – 9 n + 21 n x – 14 m x = (2m-3n) (3-7x) 

 

Como puedes ver, en el ejemplo anterior, los binomios (2 m – 3 n) y (3 n – 2 m), no son exactamente iguales, por lo cual, para igualarlos, cambiamos el signo al segundo binomio y nos quedo ( 2m- 3n), pero para que el producto 7 x (3 n – 2 m) no variara, también le cambiamos el signo al factor 7 x, convirtiéndolo en – 7 x. En el ejemplo anterior, también podemos agrupar el primer y cuarto término, que tienen el factor común 2 m, y el segundo y tercer término que tienen el factor común 3 n. Fíjate que al agrupar en paréntesis, el segundo y tercer término, que son – 9 n y + 21 n x, lo anotamos como  –(9 n – 21 n x), esto para que mantengan los signos de la expresión original.   Obtenemos el mismo resultado, ya que el orden de los factores no altera el producto.

 Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto notable suma por su diferencia;

 La regla para factorizar una diferencia de cuadrados es; extraer la raíz cuadrada al primer y al segundo cuadrado, y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia.
Ejemplo:
Factorizar 25x² – 36   

   25x² – 36 = (5x + 6) ( 5x – 6)

 

Factorización de la suma de cubos perfectos

La suma de dos cubos perfectos equivale al producto de dos factores: el primero, un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos; el segundo, un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La factorización de la suma de cubos perfectos se expresa así:   

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y² )

Ejemplo:

Para factorizar la suma x ³ + 27 se sigue este proceso:

• Se extrae la raíz cúbica del primer término.           Para x ³ es     = x

• Se extrae la raíz cúbica del segundo término.      Para 27 es  = 3

• Se expresa la suma de cubos como el producto de la suma de las raíces por la suma de los cuadrados de las raíces menos su producto.   x ³ + 27 = (x + 3) (x ² – 3x +9)

 

Factorización de la diferencia de cubos perfectos

La diferencia de dos cubos perfectos equivale a multiplicar dos factores: el primero, un binomio formado por la diferencia de las raíces cúbicas de los términos; el segundo, un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La factorización de la diferencia de cubos perfectos se expresa así:   x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y² )

Factoriza el binomio x³ – 125.

Solución:

Factoriza la expresión x ³ – 125. Para ello, primero calcula la raíz cúbica de x ³ que es x y luego, la raíz cúbica de   125 que es 5.   

Después, expresa x ³ – 125 como el producto de la diferencia de las raíces (x – 5 ) y la suma de los cuadrados de las raíces más el producto de las mismas, es decir, (x ² + 5x +25).

 Entonces: x ³ – 125= (x – 5) (x ² + 2x + 25)

 Trinomio cuadrado perfecto
El trinomio cuadrado perfecto es igual al producto notable cuadrado de binomio o sea, es producto de dos binomios iguales:

 
La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es; extraer la raíz cuadrada al primer y tercer término, y separar estas raíces por el signo del segundo término. Entonces, el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo.
 

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado, así:

                                         a² – 2 ab + b² = ( a  – b) ²                 a² + 2 ab + b² = (a + b)²

Factorizar:   a² + 14a + 4

       Se hallan las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos  a² y 49.Esas raices son

a y 7               

• Se verifica que el doble producto de esas raices es 14a, que corresponde al segundo término del polinomio       2(ax7)=14a

• Se factoriza la expresión y se obtiene como resultado    a² + 14a +7 = (a + 7) ²

 Ejemplo 2:  Factorizar   9x² – 16x + 64

Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos    9x² y   64   son 3x   y   8, respectivamente

El doble producto de esas raíces es 24x, que corresponde al segundo término del polinomio.

                                                           2 (3x .8 ) = 24x

 La expresión factorizada es:        9x² – 16x + 64 = (3x - 8 ) ²

 

Factorización de trinomios de la forma    x²ⁿ + bxⁿ+ c

Un trinomio de la forma  x²ⁿ +bxⁿ + c, con n como un número entero, es factorizable si existen dos números p y q que cumplen las condiciones  p + q = b y  pq = c. En este caso, el trinomio se expresa como el producto de dos binomios con primer término  xⁿ y como segundos términos los números p y q. Es decir: x ²ⁿ + b x ⁿ+ c = (x ⁿ + p)(x ⁿ + q).

Para que aprendas a reconocer este tipo de trinomio, te tienes que fijar que cumpla las siguientes condiciones:

• El coeficiente del primer término es 1.
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado o múltiplo de 2.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 o la mitad  del exponente, y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término, y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
  Ejemplo 1:  factorizar x²+ 5x +6   
•     En este ejemplo p=3 y q =2 porque p + q = 3+2 = 5 que es el coeficiente del segundo término del polinomio y  p.q = 3×2=6, luego x²+5x +6  =   ( x – 3 )( x +2)

Ejemplo 2: Factorizar   x² – 5x -14

Se descompone el trinomio en dos binomios donde el primer término es la raíz cuadrada del primer término; en el primero se coloca el signo menos (-) porque es el signo del segundo término (-5x). En el segundo se coloca más (+) porque se aplica ley de signos con los signos de los dos últimos términos del polinomio

                                            ( x –       )( x +    )

Como en los binomios tenemos signos distintos buscamos dos números cuyo producto sea -14(Término independiente) y diferencia sea -5 (segundo término), estos números son 7 y 2.Se escribe siempre el número mayor en el primer binomio

                                           ( x – 7 )( x + 2)

La expresión factorizada es:  x² – 5x -14= ( x – 7)( x + 2)

 

Factorizar y² – 8y + 15

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de y², o sea y.
Cuando el segundo término del trinomio es negativo y tercer término positivo, ambos binomios tendrán signo negativo por ley de signos.
Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den - 8 y multiplicados den 15.
 y² – 8y + 15 = ( y – 5 )( y - 3 )

 

 Factorizar m² + 5m -14.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de m², o sea m.
Cuando el segundo término del trinomio es positivo y tercer término negativo, los binomios tendrán signo destinos, donde el número de mayor valor absoluto será positivo.
Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den 5 y multiplicados den - 14.
m² + 5m - 14 = ( m+ 7 )( m - 2 )
 
 Factorizar      x⁸– 2x⁴ – 80     

                       x⁸– 2x⁴ – 80 = ( x⁴ – 10 )( x⁴ + 8)

Para facilidad de encontrar los números p y q

  se descompone el número independiente (80)  en sus factores primos y se agrupan para encontrarlos.

 

Factorización de la forma     ax²ⁿ +bxⁿ +c

Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior, en que el primer término tiene por coeficiente un número distinto de 1.
Para factorizar este tipo de trinomios, tienes que multiplicar el trinomio por el coeficiente de x²ⁿ, dejando solamente indicado el producto del segundo término, luego puedes factorizar como aprendiste en el caso anterior, y por último tienes que dividir por el mismo número que multiplicaste así:

Ejemplo:  Factorizar 20 x² + 7x – 6.
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x² que es 20 y dejamos solamente indicado el producto de 20 por 7x que es equivalente a 7(20)x

             Ahora, factorizamos como aprendiste en el caso anterior, repasemos;
El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de (20 x)², o sea 20 x.
Cuando el segundo término del trinomio es positivo y tercer término negativo, los binomios conservaran estos signos.

Los segundos términos de los binomios                   

                    serán dos números que multiplicados                 

                    den -120 y que restados den 7.

                   Para facilidad de encontrar estos números 

                   se descompone el número 120 en sus factores

                   primos y se agrupan para encontrarlos.

 

Para cancelar el denominador factorizamos y simplificamos:

      (4x + 3 ) (5x –  2 )

La expresión factorizada es: 20 x² + 7x – 6 = (4x + 3) (5x – 2).

Ejemplo 2:  Factorizar:  5x ² + 6x + 1.

 

 Cubo de binomio

 a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³

Si analizamos esta fórmula, para factorizar y llegar al producto notable cubo de binomio, es necesario que la expresión algebraica ordenada con respecto a una letra, cumpla con las siguientes condiciones;
 
- Tiene que tener cuatro términos.
-  El primer y último término tienen que ser cubos perfectos.
-  El segundo término tiene que ser (sumado o restado) el triplo del  cuadrado de la raíz cubica del primer término multiplicado por la raíz cúbica  del último término.
-  El tercer término tiene que ser sumado el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término.
 
Si todos los términos de la expresión son positivos, es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último término, y si los  términos son alternativamente positivos y negativos, la factorización será el cubo de la diferencia de dichas raíces.
Ejemplo:
Factorizar a³ + 3 a² + 3 a + 1.
Veamos si la expresión cumple con las condiciones para ser un cubo de binomio;
- La expresión si tiene 4 términos.
- El primer y segundo término, si son cubos perfectos.
- Como la raíz cubica de a³ es a, y la raíz cubica de 1 es 1, reemplazamos estos valores en la ecuación para comprobar si el segundo y tercer término corresponden;
Segundo término: 3 (a)² (1) = 3 a².
Tercer término: 3 (a) (1)² = 3 a.
Como puedes ver, la expresión algebraica cumple con todas las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la factorización es el cubo de la suma de a y 1;

 La expresión factorizada es: a³ + 3 a² + 3 a + 1 = (a + 1)³