Desigualdades e Inecuaciones

                               

Iniciamos el tema recordando como se resuelven las ecuaciones lineales

ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación lineal es una igualdad de dos expresiones algebraicas. Esto quiere decir que es cualquier ecuación equivalente a una ecuación de la forma ax + b = c, donde a ≠0 y  b,cϵR . El símbolo de la igualdad es (=).

Elementos de una ecuación lineal: observaremos la ilustración siguiente, nos daremos cuenta que en una ecuación lineal intervienen varios elementos.

En la ecuación la incógnita o variable es la letra x, las constantes son los números, los términos son cada uno de los miembros de la ecuación y por último los signos. Las expresiones separadas por el símbolo igual se denominan lados (miembros) de la ecuación.

Resolver una ecuación lineal con una incógnita:

El resolver una ecuación es determinar el valor de la incógnita que satisfaga la igualdad, entonces a continuación el paso a paso.

Ejemplo1. Resolveremos la ecuación  5x – 3= 2x+9   por transposición de términos

1. Agrupar los términos semejantes: es pasar los términos que contengan las variables hacia al lado izquierdo de la igualdad y las constantes al lado derecho de la igualdad( tambien se puedede al contrario). Cabe resaltar que los términos que pasan al otro lado cambian de signo.

5x – 3= 2x+9

5x – 2x= 9 +3

2. Resolver las operaciones: se hace la operación indicada por la operación de los signos para los términos semejante y las constantes.

3x = 12

3. Despejar la variable: el número que está multiplicando con la incógnita pasa al otro lado a dividir con la constante.

    Luego    x = 4

Ejemplo 2: resolveremos la ecuación.

 3x - 4(6 - x) = 15- 6x

1. Desarrollar la distributiva: En algunas ecuaciones hay que aplicar la distributiva como en este ejercicio -4(6-x), el número que esta fuera del paréntesis tiene que multiplicarlo con el primer término y luego con el segundo.

3x - 4(6 - x)          =   15 - 6x

3x – 4(6) - 4(-x)    =   15- 6x

3x – 24 +  4x        =    15-6x

2. Agrupar los términos semejantes

3x+4x+6x = 15+24

3. Resolver las operaciones

13x = 39

4. Despejar la variable

  x= 3

Ejemplo3: resolveremos la ecuación

1. El producto de los extremos es igual al producto de los medios: esto quiere decir multiplicar en x.

 3 (3x+8)= 2(4x-2)

2. Desarrollar la distributiva

3(3x)+3(8) = 2(4x)+2(-2)

    9x + 24  =  8x  -  4

3. Agrupar los términos semejantes

9x-8x = -4 - 24

4. Resolver las operaciones

1.x = -28

5. Despejar la variable

Luego   x= -28

 

Ejemplo 4: resolveremos la ecuación 2y – 5(1- 3y) =y – 3(1- 2y)

2y – 5 +15y= y - 3+ 6y

2y +15y -y - 6y = -3+5

10y = 2

 

Simplificamos

  

Ejemplo 5: resolveremos la ecuación con fraccionarios     

4(2x+7)=3(20-3x+2)

8x+28 =  60-9x+6

8x+9x =  60+6-28

     17x =   38

Ejemplo 6: Resolveremos la ecuación.

Ejemplo 3: Resolveremos la ecuación.

DESIGUALDAD: Una desigualdad expresa que dos cantidades no son iguales; es decir cuando una cantidad es mayor o menor que otra

Los símbolos que muestran en que sentido las cantidades no son iguales son:

a< b  dice que  a es menor que b

a  > b dice que a es mayor que b     

a≤b significa que a es menor o igual que b

a≥b significa que a es mayor o igual que b

# mayor >    # menor

En la parte abierta del símbolo siempre va el número mayor.

Ejemplo:                25 > 10

El cuadro muestra con un ejemplo los símbolos

Símbolo	Palabras	Ejemplo de uso
=	igual a	28 + 22 = 50
≠	diferente	18 + 21 ≠ 5
>	mayor que	50 > 20
<	menor que	75 < 90
≥	mayor o igual que	x ≥ 8
≤	menor o igual que	y ≤ 6

 

Propiedad de la tricotomía

Para cualesquiera números reales a y b, se tiene que uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero

a < b   ó   a > b   ó   bien a = b

Ejemplo:  si 6 <8, entonces en ningun caso pude ser mayor o igual a 8( solo se cumple una de las tres condiciones) 

 Propiedad de transitiva

Si a < b   y   b < c    entonces   a< c

Ejemplo:  8<10   y   10<15  entonces 8 < 15

Definición 

Diremos que un número  a es positivo si a > 0.

Un número b es negativo si  b < 0.

 b−a  es positivo si y sólo a < b.

 

                                         a >0   y  b>0

a x b> 0   sii      ó

                                        a <0   y   b<0

Ejemplo     4x5 >0     por que  4>0  y 5>0

Situación problema

La profesora de química le pregunta a Juan que si le puede definir  el intervalo de temperatura en grados Fahrenheit correspondiente a una temperatura en la escala centígrada que se encuentra  entre 30°C y 60°C  si estas temperaturas  están relacionadas por la ecuación

C =  5/9(F-32°) 

¿será que juan utilizando las propiedades de las desigualdades le resolverá a su profesora de química este problema?

SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN PROBLEMA

Temperatura  en grados Celsius está en el intervalo

30° ≤   C  ≤60° 

 Como    C =  5/9(F-32)   se hace el cambio de variable

30°   ≤    5/9 (F-32°)  ≤60°

30°(9)    ≤      5(9)/9    (F- 32)   ≤  60°

270° ≤ 5(F -32° ) ≤ 540°      (Se multiplicó la desigualdad por 9)

 54°   ≤ F – 32° ≤  108°          (Se  dividió la desigualdad entre 5)

86° ≤ F ≤ 140°                      (Se sumó 32° a la desigualdad)

Luego el intervalo de  temperatura en grados Fahrenheit está entre 86° y 140° incluyendo los extremos. 

INTERVALOS

Un intervalo es un subconjunto de números reales y se representa mediante un segmento con  o  sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados

 

Intervalos acotados

Intervalo abierto (a,b).

Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa:  a<x<b.     

Ejemplo:Si a= -4 y b= 9

El intervalo abierto (-4 ; 9) Son todos los números que van desde -4 hasta 9, sin incluir el -4 ni el 9, es decir estos dos números no pertenecen a este intervalo.

Como los intervalos son números reales indica que hay infinitos números en cualquier  intervalo.

Nombremos tres números reales que no estan escritos pero pertenecen a este intervalo:   2.5,   -3.42,    8.99

Intervalo cerrado [a,b].

 Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos.

Se expresa a ≤ x ≤ b.  

  

 

Ejemplo:Si a= -4 y b= 9

El intervalo cerrado [ -4 ; 9 ] Son todos los números que van desde -4 hasta 9, incluyendo el -4  y el 9, es decir estos dos números si pertenecen a este intervalo.

Nombremos tres números reales que no estan escritos pero pertenecen a este intervalo:   2.8,   -6.45,   9/2

Intervalo abierto a la derecha [a,b).

 Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa a ≤ x<b  

 

Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a<x≤b.   

 

Intervalos no acotados

 

Los intervalos no acotados se representan mediante una semirrecta. 

(-∞,a). Está formado por los números reales x menores que a, excluido a. Se expresa: x<a.    

 

[a,+∞). Está formado por los números reales x mayores que a, incluido a. Se expresa:  x≥ a     

 

El intervalo   (-∞,∞) representa el conjunto de los números reales  y corresponde a toda la recta real. 

EJEMPLOS

 

OPERACIONES CON INTERVALOS

Como los intervalos son subconjuntos  del conjunto de los números reales, entonces las operaciones unión,

Intersección y diferencia también están definidas en dichos subconjuntos. Definamos estas operaciones.

A∪B={x ∈R/x ∈A ó X∈B ó a ambos } ( Se lee: A unión B es igual al conjunto de las x que pertenecen a los reales tales que x pertenece a A o x pertenece a B o a ambos)                  

A∩B={x ∈R/x ∈A  y  X∈B } Se lee: A intersección  B es igual al conjunto de las x(equis) que pertenecen a los reales tales que x pertenece a A  y x pertenece a B)                  

A-B={x ∈R/x ∈A y XB}  Se lee: A diferencia de B es igual al conjunto de las x que pertenecen a los reales tales que x pertenece a A  y  x no pertenece a B )                   

A ∆ B ={x∈R /x ∈ (A∪B)  y  x  (A ∩B) } Se lee: A diferencia simétrica de B es igual al conjunto de las x que pertenecen a los reales tales que x perenece a Aunido B y x no pertenece a A interceptado B

  Aʼ={x ∈R/x ∈ U y   x A}  Se lee: A complemento es igual al conjunto de las x que pertenecen  a los reales tal que  x pertenece al conjunto Universal y no pertenece a A

Ejemplos

Consideremos los intervalos A = [ -3, 5 )      B = ( – ∞, 1)             C = [ – 1, 7 )             D = [ 0, ∞ )

Hallar:

a. A U B

SOLUCIÓN:      [ -3, 5 ) U  ( -∞. 1 ) = ( – ∞, 5 )

 

 

 

c.   C – A =  [ -1, 7 ) – [ -3, 5 ) = [ 5, 7 )

 

 

d.  B Δ D = ( -∞, 1 ) Δ  [ 0, ∞ ) =  ( –∞, 0 ) U [ 1, ∞ )

 

e.   A’ = [ –3, 5 )’ = ( – ∞, – 3 ) U [ 5, ∞ )

 

 

SITUACIÓN PROBLEMA.

 Miguel, Diana y Carlos van al gimnasio  "Los musculosos"

Miguel trabaja en un banco y  va   de 7pm a  8pm, su novia  Diana  no trabaja y dedica más tiempo al gimnasio, ella va de 5pm a 7:30pm.Ellos quieren encontrarse con  Carlos para compartir un rato,ya que los tres son amigos. Si Carlos practica en el gimnasio de 7:15pm a 9:15 pm.

¿ En que horario se encuentran en el gimnasio?  

 

SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN PROBLEMA

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en donde intervienen una o más variables

 

Ejemplos :      2x+3y >12                 5 - 3x ≤ 2x+1           3/4 x² -7x ≥45

Resolver una inecuación es hallar los valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.

Al conjunto de dichos valores se le llama conjunto solución.

Ejemplo:

Al resolver la  inecuación  2x - 6 ≥10  tiene como solución la expresión  x ≥8,, esto indica que los valores de 8 en adelante satisfacen  la inecuación inicial es decir son los números que la hacen verdadera, hagamos una prueba

 como 9 >8 remplazamos en la inecuación:

2(9) – 6 ≥ 10

 12 ≥10    Efectivamente  se cumple la condición

Luego se dice que la solución es   S ={x ∈R:x ≥8  }  ó  tambien se escribe  s=(8; ∞ )

 

Gráficamente:    

INECUACIONES  LINEALES

Las inecuaciones lineales  son de la forma  ax + b<0    ó   ax+b >0,    a ≠ 0.

Para resolver inecuaciones es indispensable tener en cuenta  las propiedades de las desigualdades.

Ejemplos:

Resolver las siguientes inecuaciones

1)      2x– 8 ≥16                                         

    2x −8+8≥16+8                                                         

            2x  ≥24                                                                                                                                                         

          2x/2  ≥ 24/2 

              x ≥ 12  

          S = {x ∈R:x ≥12  }                                                

 2)                                             

       

                                                                                              

Inecuaciones simultaneas.

Cuando dos inecuaciones se combinan  mediante la conjunción  «Ʌ»  o la disyunción  «V» , forman inecuaciones simultaneas, Así:

x > a    Ʌ      x < b      es equivalente a       a < x < b

x ≥ a   Ʌ     x  ≤  b    es equivalente a       a ≤ x ≤b

El conjunto solución de una conjunción de inecuaciones es la intersección  de los conjunto solución.

El conjunto solución de una disyunción  de inecuaciones es la unión  de los conjunto solución.

Ejemplo:

Resolver la inecuación     -6 ≤  (5 - 4x)/3 < 2

Para su  solución se resolverá de dos formas .

PRIMERA FORMA

 

 

SEGUNDA FORMA

 

 

SITUACIÓN PROBLEMA

Don Pedro es fabricante de zapatos y puede vender todo lo que produce a un precio de $48.000 cada par.

Gasta $32.000 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos  fijos  de  $2.400.000 al mes en arriendos y servicios públicos .

Encontrar el número de pares de zapatos que debería producir y vender don  Pedro para obtener una utilidad de al menos  $1200.000  al mes.

SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN PROBLEMA

Sea x el número de pares de zapatos producidos y vendidos por don Pedro al mes.

Entonces el costo total  de producir x pares es de   $2400000 más $32000 por par, lo cual es (32000x + 2400000) pesos.

El ingreso por vender x pares por $48000  cada una será de $48000x . Por lo tanto,

Utilidad=Ingresos – Costos

          = 48000x - (32000x + 2400000) = 48000x-32000x – 2400000 = 16000x – 2400000

Puesto que deseamos obtener una utilidad de al menos   $1.200000 al mes, tenemos las desigualdades siguientes.

       Utilidad  ≥ 1.200000 

  16000x – 2400000 ≥ 1.200000

               16000x ≥ 3600000

                   X ≥ 225

Don pedro  deberá producir y vender al menos 225 pares  cada mes.