Funciones.
Veremos como se resuelve las ecuaciones cuadráticas en dos formas: solución por factorización y Utilizando la formula cuadrática.
FUNCIÓNES REALES
RELACIÓN:una relación R, definida como un conjunto A en un conjunto B, es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.
Ejemplo:
Considera estos conjuntos A y B: A ={2, 3, 5, 6} y B = {1, 2, 4, 9, 10}.
Si x es un elemento de A y y, un elemento de B, puede definirse una relación R de A en B, mediante el enunciado: “y es múltiplo de x”.
¿Cuáles son los elementos de R?
De acuerdo con su definición, la relación R hace corresponder a x, en A, algún elemento y, de B, siempre y cuando y sea múltiplo de x. Por lo tanto, la relación está conformada por todas las parejas ordenadas de la forma (x, y) que cumplan la condición que define a R, así:
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 10), (3, 9), (5, 10)}.
FUNCIÓN: Cuando una relación dada entre dos conjuntos A y B asocia a cada elemento de A exactamente un elemento de B es denominada función de A en B.
Al conjunto A se le denomina dominio de la función
El conjunto de los elementos de B que estan relacionaados con algun elemento de A se le denomina rango de la función
Un elemento de B que esté relacionado con uno o más lementos de A de una funcion f, se dice que es una imagen y se simboliza f(a) = b " se lee efe de a = b "
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c ϵ ℝ. Esta ecuación tiene a lo más dos soluciones. Para resolver ecuaciones veremos tres formas:
1. Solución por factorización:
Toda expresión de las forma x2 + bx + c = 0, puede ser factorizado, de forma (x+m)(x+n). ( Ver en el algebra Baldor:factorizaciòn de la forma x2 + bx + c, )
Cuando hallemos la factorización x2 + bx + c = (x + m)(x + n) = o, podemos hallar fácilmente la solución de la ecuación, ya que el producto de dos factores es cero si y solo si al menos uno de los factores es igual a cero, por tanto, las soluciones son:
x1+m=0 → x1= - m
x2+n=0 → x2= - n
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 3(x2 + 1) = 5(1 –x)
Aplicamos la distributiva en ambos lados.
3x2 + 3 = 5 – 5x
Luego, pasamos todo al otro lado de la igualdad
3x2 + 5x + 3 -5 = 0
Resolvemos términos semejantes.
3 x2+ 5x -2 = 0 ax2 + bx +c =0
a= 3 b=5 c=-2
Entramos a factor.
9 x2+ 5(3) x -6 =
En consecuencia 3x - 1 = 0 ó x + 2=0
El primer caso 3x =1 despejamos x
El segundo caso x +2=0 despejamos x2
Ejemplo 2: Resuelve la ecuación por factorización x2 + 5x + 6 = 0
(x +3)(x +2)
(x + 3)(x + 2)=0
En consecuencia
x + 3 = 0 ó x + 2=0
X = -3 X = - 2
Ejemplo 3:
5x2 +8x +3=0
5(5x2 ) +5(8x) +5(3) =0
25x2+ 5 (8x) + 15=0
(5x+5)(5x+3)
( x+1) ( 5x+3 ) = 0
x+1=0 5x+3 = 0
x1= -1 5x= - 3
Ejemplo 4: X2+4x+4=0
( x+2 ) ( x+2 ) = 0
X+2=0 X+2=0
X=-2 X = - 2
FÓRMULA CUADRATICA
La fórmula cuadrática, descubierta primero por los babilonios cuatro mil años atrás, nos da una manera segura de resolver las ecuaciones cuadráticas de la forma
ax2 + bx + c=0.
Colocando los valores de a, b, y c, Usted obtendrá los valores deseados de x.
Ejemplo 1: Resuelva la ecuación cuadrática.
x2 – x – 12 = 0
Aquí a = 1, b = –1, y c = –12. Sustituyendo, obtenemos:
Por lo tanto la solución es:
x= 4 y x=-3
Ejemplo 2: Resuelva la ecuación cuadrática.
3 x2 + 2 x + 1 = 0
a= 3, b=2 y c=1
 La raíz de -8 no existe,por la tanto la ecuación no tiene solución real |
Ejemplo 3: Resuelva la ecuación cuadrática.
X2 – 4x +2=0
Aquí a = 1, b = -4, y c = 2. Sustituyendo, obtenemos:
Simplificamos la raíz
Taller 1
Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización:
1. (x+3)(x-3) = x- 9
2. 4x2 – 4x – 15 = 0
3. 3x2 -11x +10=0
4. x2 + 9x + 14 = 0
5. x2 -7x + 12 = 0
Taller 2.
1. 3x2 + 6x -2=0
2. X2 + x -3=0
3. 4x2 – 12x +9=0