Cálculo

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Ciclo 6

Funciones.

Les explicare como se resuelve las ecuaciones cuadráticas en tres formas: solución por factorización, completando cuadrados y formula cuadrática.

Sun, Jul 10, 2022 6:43 PM

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática tiene la forma a?2 + ?? + ? = 0, con a, b y c ϵ ℝ. Esta ecuación tiene a lo más dos soluciones. Para resolver ecuaciones veremos tres formas:

1. Solución por factorización:

Toda expresión de las forma x2 + bx + c = 0, puede ser factorizado, de forma (x+m)(x+n). ( Ver en el algebra Baldor:factorizaciòn de la forma   x2 + bx + c, )

Cuando hallemos la factorización x2 + bx + c = (x + m)(x + n) = o, podemos hallar fácilmente la solución de la ecuación, ya que el producto de dos factores es cero si y solo si al menos uno de los factores es igual a cero, por tanto, las soluciones son:

x1+m=0    →   x1= - m

x2+n=0    →      x2= - n

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 3(x2 + 1) = 5(1 –x)

Aplicamos la distributiva en ambos lados.

3x2 + 3 = 5 – 5x

Luego, pasamos todo al otro lado de la igualdad

3x2 + 5x + 3 -5 = 0

Resolvemos términos semejantes.

3 x2+ 5x -2 = 0         ax2 + bx +c =0

a= 3     b=5      c=-2

Entramos a factor.

   9 x2+ 5(3) x -6 =  

 En consecuencia   3x - 1 = 0   ó   x + 2=0

El primer caso   3x =1 despejamos x    

El segundo caso   x +2=0  despejamos x2

Ejemplo 2: Resuelve la ecuación por factorización x2 + 5x + 6 = 0

(x +3)(x +2)

(x + 3)(x + 2)=0

En consecuencia

x + 3 = 0           ó        x + 2=0

  X  = -3                     X = - 2

 

Ejemplo 3:

 5x2 +8x +3=0

 5(5x2 ) +5(8x) +5(3) =0

  25x2+ 5 (8x) + 15=0

 (5x+5)(5x+3)

( x+1) ( 5x+3 ) = 0

x+1=0            5x+3 = 0

x1= -1            5x= - 3 

                     

Ejemplo 4: X2+4x+4=0

( x+2 ) ( x+2 ) = 0

X+2=0          X+2=0

X=-2             X = - 2

 

FÓRMULA CUADRATICA

La fórmula cuadrática, descubierta primero por los babilonios cuatro mil años atrás, nos da una manera segura de resolver las ecuaciones cuadráticas de la forma

ax2 + bx + c=0.

Colocando los valores de a, b, y c, Usted obtendrá los valores deseados de x.

Ejemplo 1: Resuelva la ecuación cuadrática.

x2 – x – 12 = 0

Aquí a = 1, b = –1, y c = –12. Sustituyendo, obtenemos:

 Por lo tanto la solución es:

 x= 4  y     x=-3

 

Ejemplo 2: Resuelva la ecuación cuadrática.

3 x2 + 2 x + 1 = 0

a= 3,  b=2  y  c=1

 La raíz de -8 no existe,por la tanto la ecuación no tiene solución real  

 

 

 

 

 

Ejemplo 3: Resuelva la ecuación cuadrática.

X2 – 4x +2=0

Aquí a = 1, b = -4, y c = 2. Sustituyendo, obtenemos:

Simplificamos la raíz

Actividad

 

Taller 1

Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización:

1.     (x+3)(x-3) = x- 9

2.     4x2 – 4x – 15 = 0

3.     3x2 -11x +10=0

4.      x2 + 9x + 14 = 0

5.     x2 -7x + 12 = 0

 

Taller 2.

1. 3x2 + 6x -2=0

2. X2 + x -3=0

3. 4x2 – 12x +9=0