GEOMETRÍA

 

 

GEOMETRÍA

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de las figuras en el espacio, como puntos, líneas, planos, ángulos, superficies y sólidos. Originalmente surgió como una herramienta para medir terrenos.

MOVIMIENTOS EN EL PLANOUn movimiento en el plano se refiere a una trasformación que desplaza una figura sin alterar su forma o tamaño

TRASLACIONES

 

 

 

 

 

 

Una traslación es un movimiento en el plano en el que todos los puntos de una figura se mueven en la misma dirección.

La imagen de una figura mediante la traslación es congruente con la inicial; conserva la medida de los ángulos y los lados.

Para realizar una traslación , es preciso conocer la magnitud, la dirección y el sentido del movimiento que se desea realizar.

La magnitud de la traslación corresponde a la cantidad de unidades que se  desea desplazar.

La dirección está determinada por el vector asociado al desplazamiento.

El sentido se indica mediante la punta del vector asociado al desplazamiento.

Ejemplo

Trasladar horizontalmente hacia la derecha 5  unidades el triángulo  de vértices  A( 2,3) , B(-1, 4) y  C(-2,1)

para trasladar el triángulo ABC se puden seguir los siguientes pasos: 

1. Se ubica el triángulo en el pano Cartesiano.

2. Desde cada vértice se cuenta la cantidad de unidades de traslación en la dirección y sentido dados.( en nuestro ejemplo 5 unidadeshacia la derecha) y se marcan los vértices.

4. Se traza el polígono imagen.

Ejemplo 2

Para trasladar el triángulo ABC se tiene en cuenta el vector que tiene su inicio en el origen del plano Cartesiano y su cabeza en el puto (6,2), este vector indica que cada vértice  del triánghulo ABC, se debe trasladar 6 unidades a la derecha y 2 unidades de forma vertical hacia arriba.

Para obtener los vértices de A'B'C'  a cada vértice de ABC se le suma 6 unidades a la primera componente y dos unidades a la segunda componente

ROTACIÓN

La rotación es un movimiento que se realiza en un plano mediante el cual una figura gira alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación.Para rotar un polígono se tiene en cuenta el centro de rotación, el sentido y la amplitud de giro.

Procedimiento para rotar un triángulo ABC en el plano con respecto a un punto O

1. Se trazan segmentos que unan el punto O con cada uno de los vértices del triángulo.

2. Con el compás se trazan arcos que tengan centro en O y inicien en cada uno de los vértices del triángulo.

3. Se mide la amplitud del ángulo en el sentido indicado, con respecto a cada segmento trazado en el paso 1, y se trazan nuhevos segmentos que corten los arcos en los puntos

A´, B´ y C´, respectivamente.

4. Se traza el triángulo A´B´C´

Ejemplo

En la presente rotación el centro es el origen del plano cartesiano; en el mismo  sentido de las manesillas del reloj, y la amplitud del giro es el ángulo de 90°

REFLEXIÓN

La reflexión es un movimiento que se realiza en un plano mediante el cual una figura se refleja respecto a una línea recta denominada eje de reflexión.

Pasos para obtener la imagen de un polígono ABCDE por reflexión.

1. Se trazan rectas perpendiculares al eje de reflexión que pasen por cada uno de los vértices del polígono ABCDE

2. Con el compás se mide la distancia entre cada vértice y el eje de reflexión, y se ubicam los respectivos vértices de la imagen al otro lado del eje.

3. Se trazan los segmentos que forman el polígono imagen  

HOMOTECIA

Una homotecia es una transformación que se realiza sobre una figura en el  plano con el fin de obtener figuras semejantes a la dada. para efectuar una homotecia se debe elegir un centro denominado foco y un factor de proporcionalidad o razón de homotecia.

Para obtener un polígono semejante a ABC  de la figura  mediante una homotecia con centro en O y factor de proporcionalidad 2 se realiza los siguientes pasos:

1. Se trazan semirrectas desde el foco d3 la homotecia (O) a cada uno de los vértices del triángulo.

2. Se miden las distancias (d) del foco a cada uno de los vértices del polígono.

 

3. Se multiplica cada distancia por el factor de proporcionalidad 2. Finalmente se marcan las distancias  duplicadas sobre las semirrectas y se traza el polígono imagen.

poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos

Elementos de un poliedro:

Los políedros se clasifican segun la medida de sus ángulos en convexos, si todos sus ángulos diedros son convexos, y en concavos si alguno de sus ángulos diedros es concavo.

 Ángulo diedro: es la figura formada por dos planos que se intersectan

Diferencias entre poliedros cóncavos y convexos

Cóncavo. Que un poliedro sea cóncavo significa que si cogemos dos puntos cualesquiera del poliedro podemos encontrar un segmento de recta que sobresalga del poliedro al exterior. 

Convexo  un poliedro  convexo quiere decir que si cogemos dos puntos cualesquiera del poliedro, la línea que les une es interna a la figura, o sea, el segmento no sobresale al exterior del poliedro.       

En los poliedros convexos se presenta la igualdad de Euler que indica:

Caras + Vértices = aristas + 2

veamos el siguiente ejemplo:

Prismas

Un prisma es un poliedro que tiene dos polígnos congruentes y paralelos que se llaman bases. La otras caras son paralelogramos  y se denominan caras laterales.La distancia entre las bases es la altura del prisma.

Los prismas se nombra según el polígono de sus bases como triángular rectángular, pentagonal etc. Si todas sus caras laterales son rectángulos se dice que son poliedros rectos y si alguna de sus caras laterales no es un rectangulo se llaman poliedros oblicuos.

Ejemplos

En los prismas regulares se distinguen dos nuevos elementos que so la apotema y el radio.

APOTEMA: es un  segmento que une el centro de la base con el punto medio de uno de los lados.

RADIO: es un segmento que une el centro de la base con un vértice de la misma.

PIRÁMIDES

Una pirámide es un poliedro donde su base es un polígono y sus caras laterales estan formadas por triángulos que concurren en un mismo punto llamado vértice.

Elementos de una pirámide.

De acuerdo al polígono de la base, las pirámides se pueden clasificar como triángulares, rectangulares, cuadrangulares,etc. O en cóncavas y convexas.

TRONCOS DE PIRÁMIDE

Si se corta una pirámide por un plano paralelo a la base y se quita la parte de arriba,el cuerpo resultante es un tronco de pirámide.

 

Figuras congruentes y figuras semejantes 

 Dos figuras son congruente si tanto los ángulos correspondientes como los lados correspondientes son congruentes.La relación de congruencia se simboliza con  

Estos  triángulos  son congruentes porque

1.  AB = DE = 8.5U  , AC= EF= 7.5U  y  CB = DE= 8u por lo tanto

2. 

 

FIGURAS SEMEJANTES

Dos figuras son semejantes cuando los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspndientes son proporcionales.El cociente entre los lados correspondientes se llama razon de semejanza( K ).

Verifiquemos que los dos cuadrilateros son semejantes 

 

 

 

 

 

 

Cuadriláteros

Movimientos en el plano