Física

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Ciclo 6

Ecuación para la elongación del movimiento armónico simple

Recordemos que el M.A.S. es un movimiento periódico en el que un cuerpo oscila de un lado a otro desde su posición de equilibrio, en una dirección determinada en intervalos iguales de tiempo. En el caso de un muelle cuando un cuerpo suspendido del muelle que sube y baja a un lado y otro de las posición de equilibrio y se repite en intervalos iguales de tiempo.

Tue, Apr 13, 2021 10:57 PM

Para describir completamente el MAS debemos obtener las ecuaciones que nos permitan conocer la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula en un instante dado. Pero antes hemos de recordar y definir algunas características de este movimiento

 

Características de un MAS

 

  • Oscilación: recorrido de la partícula en un movimiento completo de vaivén.
  •  Centro de oscilación, O: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil.
  • Elongación, x: coordenada de posición de la partícula en un momento dado.
  • Amplitud, A: valor máximo de la elongación.
  • Período, T: tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.
  •  Frecuencia, f: número de oscilaciones o ciclos efectuados por unidad de tiempo. Es la inversa del período (f=1/T). Su unidad en el SI es el hercio, Hz, siendo 1 Hz=1/s 
  •  Pulsación,ω:número de períodos comprendidos en 2π unidades de tiempo ω=2 π /T.

Ecuación de la elongación: hay una relación entre el movimiento circular uniforme y el M.A.S. Vamos analizar la siguiente figura para comprender un poco sobre la elongación.

 

                                     

Este cuerpo M se va a estar moviendo con un movimiento circular uniforme y en un momento dado, este cuerpo M se encontrara en un punto Q. para obtener el M.A.S. nosotros proyectamos sobre una línea recta, el cual es el diámetro de la circunferencia y ese diámetro puede estar tanto en el eje x o en el eje y. así proyectándolo en el eje x lo llamaremos P que es la proyección del movimiento armónico simple y el punto del centro lo llamaremos el punto de equilibrio O, ósea que la distancia de O a P es la elongación del movimiento armónico simple. Independientemente donde vaya la partícula en el círculo nosotros proyectaremos la elongación del Movimiento Armónico Simple que este oscila de un lado a otro de su posición de equilibrio.

Asi que 

O= Centro de la circunferencia

M= La posición de la partícula del punto de equilibrio

R= radio

Q= Es la posición de la partícula

R= amplitud del movimiento armónico simple A

La partícula describió un ángulo θ y aparece el triángulo ∆QOP. Por lo tanto nos sirve sacar la ecuación de la elongación, aplicaremos una de las razones trigonométricas:

cosØ = x / R        Al considerar el eje horizontal se ve que R es la maxima elongación . Luego:

X = A cosθ

Recordamos que un movimiento circular uniforme, la velocidad angular indica el angulo barrido en la unidad de tiempo  , luego despejamos θ.

Θ= ω.t

Se concluye que: X = A cos ω.t

En la expresión X = A cos ω.t, demuestra que si t= 0, la elongación es máxima porque coseno de 0 es igual a 1(cos0=1) y multiplicado por la amplitud da la misma amplitud . Al analizar la elongación de una partícula que posee M.A.S., Atraves del tiempo obtenemos una gráfica de la siguiente forma:

 

Ejemplo 1:

Un cuerpo que oscila con M.A.S. de 10cm de amplitud. Calcular la elongación cuando ha trascurrido un sexto de periodo.

X = A cos ω.t

A= 10cm

/

Ejemplo 2:

¿Qué tiempo mínimo debe transcurrir para que una partícula que oscila con M.A.S. de 12cm de amplitud y 4s de periodo alcance una elongación de 8 cm?

X = A cos ω.t

Ejemplo 4: La ecuación de un M.A.S. es x(t) = 2 cos 30?t, en la que x es la elongación en cm y t en s. ¿Cuál es la amplitud, la frecuencia y el período de este movimiento?

X = A cos ω.t

x(t) = 2 cos 30?t

A= 2cm

ω=2π /T

T.ω=2π

T= 2π/ ω

T= 2π/ 30π/S

T= 2/ 30S

T= 1/15S

F= 1/T

F=1/1/15S

F= 15Hz

Elongación en función del tiempo

X = A cos (ω.t+θ)

X = A sen (ω.t + θ)

Se vio un video en clase para hallar amplitud, frecuencia angular, fase final, periodo, frecuencia oscilación y elongación.

https://www.youtube.com/watch?v=PBi4s06n-2M

Ejemplo: La ecuación de movimiento de un oscilador armónico es x= 0,4m

Determina: amplitud, frecuencia angular, fase final, periodo, frecuencia

 

 

Actividad

TALLER 1.

Un cuerpo que oscila con M.A.S. de 20cm de amplitud. Calcular la elongación cuando ha trascurrido un cuarto de periodo.

2. En un M.A.S. la elongación en cm es x(t) = 5cm cos  siendo t el tiempo en s. Calcular la elongación del móvil en los instantes

  t = 1 s  y

 

3. La ecuación de un M.A.S. es x(t) = 6cm cos 20?t, en la que x es la elongación en cm y t en s. ¿Cuál es la amplitud, la frecuencia y el período de este movimiento?

TALLER 2.

1. La ecuación de movimiento de un oscilador armónico es:

x= 0,4m sen

 

 

Determina:

a. Amplitud

b. frecuencia angular

c. fase final, periodo

d. frecuencia oscilación