TEMA 4. Teorema de Bayes

En la teoría de la probabilidad, el teorema de Bayes es una ley que sirve para calcular la probabilidad de un evento cuando se conoce información a priori sobre dicho suceso.

En concreto, el teorema de Bayes relaciona matemáticamente la probabilidad del evento A dado el evento B con la probabilidad de B dado A.

Por ejemplo, si se sabe de antemano la probabilidad de que una persona le duela la cabeza cuando tiene gripe, se puede determinar con el teorema de Bayes la probabilidad de que una persona tenga gripe cuando le duele la cabeza.

El teorema de Bayes tiene muchas aplicaciones, por ejemplo, se utiliza en medicina, en economía o en tecnología para calcular las probabilidades de algunos eventos que están condicionadas por otros eventos. Más abajo entraremos en detalle en las diferentes aplicaciones del teorema de Bayes.

El teorema de Bayes fue inventado por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761), aunque fue publicado póstumamente en 1763.

El teorema de Bayes dice que dado un espacio muestral formado por un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes {A₁, A₂,…, A_i,…, A_n} cuyas probabilidades no son nulas y otro evento B, se puede relacionar matemáticamente la probabilidad condicional de A_i dado el evento B con la probabilidad condicional de B dado A_i.

Así pues, la fórmula del teorema de Bayes, también conocida como regla de Bayes, es la siguiente:

 

Donde:

• es la probabilidad condicional del evento A_i dado el evento B, denominada probabilidad a posteriori.
• es la probabilidad condicional del evento B dado el evento A_i.
• es la probabilidad de que ocurra el evento A_i, denominada probabilidad a priori.

Fíjate que el denominador de la fórmula del teorema de Bayes corresponde a la probabilidad total del evento B.

Ejemplo 

• Una tienda de electrónica vende tres marcas de televisores: X, Y, Z. Se estima que el 20% de las ventas son televisores de la marca X, el 50% de la marca Y y el 30% de la marca Z. El 5% de los televisores de la marca X son defectuosos, el 3% de los televisores de la marca Y son defectuosos y el 4% de los televisores de la marca Z son defectuosos. Dado un televisor defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca de televisores Z?

El enunciado del ejercicio nos da las probabilidades de que un cliente compre cada marca de televisores:

• Evento A₁: Un cliente compra un televisor de la marca X → P(A₁)=0,20
• Evento A₂: Un cliente compra un televisor de la marca Y → P(A₂)=0,50
• Evento A₃: Un cliente compra un televisor de la marca Z → P(A₃)=0,30

Además, el enunciado también nos proporciona la probabilidad que un televisor sea defectuoso de cada marca:

Evento B: El televisor es defectuoso

• B|A₁: Dado un televisor de la marca X, el televisor es defectuoso → P(B|A₁)=0,05
• B|A₂: Dado un televisor de la marca Y, el televisor es defectuoso → P(B|A₂)=0,03
• B|A₃: Dado un televisor de la marca Z, el televisor es defectuoso → P(B|A₃)=0,04

De modo que el árbol de probabilidad de todos los eventos que nos interesan es el siguiente:

 

Entonces, para calcular la probabilidad de que dado un televisor defectuoso este sea de la marca Z, tenemos que usar la fórmula del teorema de Bayes:

Utilizando la terminología utilizada en este ejemplo, la fórmula de Bayes queda de la siguiente manera:

Por lo tanto, el cálculo de la probabilidad de que dado un televisor defectuoso este sea de la marca Z es el siguiente:

En conclusión, la probabilidad de que si un televisor es defectuoso este sea de la marca Z es del 32%.

Aplicaciones del teorema de Bayes

Las aplicaciones del teorema de Bayes son muchas, algunas de ellas son:

1. Pruebas médicas: el teorema de Bayes se usa frecuentemente en medicina para determinar la probabilidad de acierto de las pruebas diagnósticas. Por ejemplo, en el caso de una prueba de detección del VIH, se puede utilizar el teorema para calcular la probabilidad de que una persona tenga realmente el virus dado un resultado positivo en la prueba.
2. Análisis financiero: en finanzas se usa el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que ciertos eventos económicos, como un aumento o una bajada en el valor de las acciones, ocurran dado un conjunto de variables económicas.
3. Estudio de mercado: el teorema de Bayes permite determinar, por ejemplo, la probabilidad de que una persona compre un producto cuando ha visto un anuncio de ese producto.
4. Pronóstico del tiempo: los modelos meteorológicos también utilizan el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que dada una predicción meteorológica en función de los datos observados esta se acabe cumpliendo. De esta forma se mejora la precisión de las previsiones climáticas.
5. Seguridad informática: en ciberseguridad, el teorema de Bayes puede aplicarse para determinar la probabilidad de que una actividad sospechosa sea verdaderamente un ataque al sistema informático.