Límites De Funciones Reales

La noción de límite constituye uno de los conceptos importantes para introducirse al estudio del cálculo.

Tue, Jan 21, 2025 11:56 PM

Veamos el vídeo del profe Alex para iniciar el tema

Consideremos la función ; como la función f no está definida para x= 2, por que al reemplazarlo en la función se tendría cero(0) en el denominador,entonces tratemos de acercarnos a este valor por la izquierda y por la derecha de 2 para calcular su límite .

Tomemos para x los valores por la izquierda { 1, 1.5, 1.9 1.99, 1.999 } y por la derecha {2.001, 2.01 , 2.1, 2.5, 3 }

los remplazamos en la función y vemos a qué valor se aproxima

Ubicamos los resultados en la tabla

x	1	1.5	1.9	1.99	1.999	2	2.001	2.01	2.1	2.5	3
f(x)	-1	-2	-10	-100	-1000	?	1000	100	10	2	1

Se ve claramente que a medida que los valores de x se aproximan a 2 por la izquierda, los valores de la función se aproximan

a menos infinito(- ∞ ) y cuando los valores de x se aproximan a 2 por la derecha, los valores de la función se aproximan

a más infinito ( + ∞ )

Afirmamos que no existe límite en 2 para la función dada.

Analiticamente se representa esta situación así:

La grafica que ilustra este ejemplo es:

Ejemplo 2 Calcular el límite de la función f(x)= x - 2

Para calcular el límite vamos a proceder como antes con valores de x que se aproximen por la izquierda y por la derecha de 2:

(Grafica de la recta)

Tomemos para x los valores por la izquierda { 1, 1.5, 1.9 -1.99, -1.999 } y por la derecha {2.001, 2.01 , 2.1, 2.5, 3 }

los remplazamos en la función y vemos a qué valor se aproxima

f(1) = 1 - 2 = -1 f(2.001) = 2.001 - 2 = 0.001

f(1.5) = 1.5 - 2 = -0.5 f(2.01) = 2.01 - 2 = 0.01

f(1.9) = 1.9 - 2 = -0.1 f(2.1) = 2.1 - 2 = 0.1

f(1.99) = 1.99 - 2 = -0.01 f(2.5) = 2.5 - 2 = 0.5

f(1.999) = 1.999 - 2 = -0.001 f(3) = 3 - 2 = 3

Ubicamos los resultados en la tabla

x	1	1.5	1.9	1.99	1.999	2	2.001	2.01	2.1	2.5	3
f(x)	-1	-0.5	-0.1	-0.01	-0.001	0

Como los valores que toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor cero,

Afirmamos que existe límite en 2 y es cero(0)

Analiticamente se representa esta situación así:

lim x- 2

x→ 2^-

La grafica que ilustra este ejemplo es:

De los dos ejemplos anteriores obtenemos las siguientes conclusiones:

Límite lateral por la izquierda de f(x)

Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a por la izquierda es L, si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x menores que a.

Esto lo escribimos como:

Límite lateral por la derecha de f(x)

Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a por la derecha es L, si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x mayores que a.

Esto lo escribimos como:

El límite de una función si existe es único y únicamente si el límite por la izquierda l_i,, es igual al limite por la derecha l_d

es decir, si ambos límites laterales coinciden.

Propiedades de los límites

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un número real, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

LÍMITE DE	EXPRESIÓN
Una constante	$\lim_{x \to c} k =\, k,\, donde\, k\in \R \,$
La función identidad	$\lim_{x \to c} x = \, c \,$
El producto de una función y una constante	$\lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,$
Una suma	$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,$
Una resta	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un producto	$\lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un cociente	$\lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,$
Una potencia	${\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0$
Un logaritmo	${\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}$
El número e	${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$

FORMAS INDETERMINADAS

Diremos que un límite es determinado si es un número real o bien .En cualquier otro caso se dirá que es indeterminado.

Existen 7 casos de indeterminación (no tienen sentido estos resultados):

Cálculo de límites
1. Límites de funciones polinómicas.
Distinguiremos dos casos:
Cuando Basta calcular f(a).
Ejemplo:
Calcula
Será:

_{= -12}

Cuando

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar.
El límite será ó dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos

2. Límites de funciones racionales.

Si P(x) y Q(x) son funciones polinómicas,se presentan dos casos:

a) Sea :
Si , se tiene que

Ejemplo:

Si , entonces

Si , tenemos el caso de indeterminación 0/0. Podemos simplificar la fracción algebraica factorizando el numerador P(x) o el denominador Q(x) y hacer desaparecer la indeterminación:

Ejemplos:

En este último caso determinaremos el signo del infinito calculando los límites laterales:

ya que si x tiende a 3 pero se conserva menor que 3, el numerador es positivo y el denominador negativo (basta dar a la "x" del denominador el valor 2,99 y se obtiene como valor numérico -0,0099).
pues para x tendiendo a 3 pero conservándose mayor que 3, el numerador es positivo y el denominador también (basta dar a "x" el valor 3,01 para obtener 0,0101).

b)        Sea ahora :
Obtenemos una indeterminación del tipo  que se subsana dividiendo numerador y denominador por el x de mayor grado:
Ejemplo:

De la forma como hemos resuelto el ejemplo se deduce que si los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) son respectivamente

axⁿ y  bx^m, pueden ocurrir tres casos:
  Si n>m el límite es
  Si n=m el límite es
Si n<m el límite es 0
Si la función es suma o resta de dos fracciones algebraicas, puede aparecernos una indeterminación del tipo  que desaparece haciendo previamente la suma o resta.
Ejemplo:

3.      Límite de funciones irracionales.
Sea f(x) una función en la que aparece un radical. Pueden darse dos casos:

a) Cuando x tiende a "a":
Si al sustituir x por a aparece una indeterminación del tipo 0/0 basta multiplicar y dividir por la expresión conjugada.
Ejemplo:

b)        Cuando x tiende a infinito:
Puede aparecernos una indeterminación del tipo  que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.

Cálculo

Ciclo 6

Límites De Funciones Reales

Consideremos la función ; como la función f no está definida para x= 2, por que al reemplazarlo en la función se tendría cero(0) en el denominador,entonces tratemos de acercarnos a este valor por la izquierda y por la derecha de 2 para calcular su límite .

los remplazamos en la función y vemos a qué valor se aproxima

Ejemplo 2 Calcular el límite de la función f(x)= x - 2

Para calcular el límite vamos a proceder como antes con valores de x que se aproximen por la izquierda y por la derecha de 2:

Tomemos para x los valores por la izquierda { 1, 1.5, 1.9 -1.99, -1.999 } y por la derecha {2.001, 2.01 , 2.1, 2.5, 3 }

los remplazamos en la función y vemos a qué valor se aproxima

Como los valores que toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor cero,

Límite lateral por la izquierda de f(x)

Esto lo escribimos como:

Límite lateral por la derecha de f(x)

Esto lo escribimos como:

El límite de una función si existe es único y únicamente si el límite por la izquierda li, , es igual al limite por la derecha ld

es decir, si ambos límites laterales coinciden.

Existen 7 casos de indeterminación (no tienen sentido estos resultados):

Cálculo de límites 1. Límites de funciones polinómicas. Distinguiremos dos casos: Cuando Basta calcular f(a). Ejemplo: Calcula Será:

= -12

Cuando

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar. El límite será ó dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos 2. Límites de funciones racionales.

Si P(x) y Q(x) son funciones polinómicas,se presentan dos casos:

a) Sea : Si , se tiene que

Si , entonces

Ejemplos:

En este último caso determinaremos el signo del infinito calculando los límites laterales:

a) Cuando x tiende a "a": Si al sustituir x por a aparece una indeterminación del tipo 0/0 basta multiplicar y dividir por la expresión conjugada. Ejemplo:

b) Cuando x tiende a infinito: Puede aparecernos una indeterminación del tipo que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.

El límite de una función si existe es único y únicamente si el límite por la izquierda l_i,, es igual al limite por la derecha l_d

Cálculo de límites
1. Límites de funciones polinómicas.
Distinguiremos dos casos:
Cuando Basta calcular f(a).
Ejemplo:
Calcula
Será:

_{= -12}

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar.
El límite será ó dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos

2. Límites de funciones racionales.

a) Sea :
Si , se tiene que

a) Cuando x tiende a "a":
Si al sustituir x por a aparece una indeterminación del tipo 0/0 basta multiplicar y dividir por la expresión conjugada.
Ejemplo:

b) Cuando x tiende a infinito:
Puede aparecernos una indeterminación del tipo que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.