Límites De Funciones Reales

La noción de límite constituye uno de los conceptos importantes para introducirse al estudio del cálculo.

Tue, Nov 5, 2024 8:52 PM

Veamos el vídeo del profe Alex para iniciar el tema

Consideremos la función ;como la función no está definida para 2, por que se tendría cero(0) en el denominador,entonces tratemos de acercarnos a este valor por la izquierda de 2 para calcular su límite .

Tomemos para x los valores {1, -1,9, -1,99 -1,999, -1,9999-....} y los remplazamos estos valores en la función y veamos a qué valor se aproxima

f(1 )=

Ubicamos los resultados en la tabla y analizamos los resultados

x	1	1,9	1,99	1,999	1,9999	1,99999	1,999999	.....	2
f(x)	-2	-29	-299	-2999	-29999	-299999	-2999999	.....

Se ve claramente que a medida que los valores de x se aproximan a 2, los valores de la función se aproximan a menos infinito()

Tomemos ahora para x valores por la derecha que se acerquen a 2 para calcular su límite.

{3, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001....} y veamos a qué valor se aproxima la función, para ello construimos la siguiente tabla:

x	3	2,1	2,01	2,001	2,0001	2,00001	2.000001	....	2
f(x)	4	31	301	3001	30001	300001	3000001	....

Ahora los valores se aproximan a más infinito.

De las dos tablas se concluye:
Si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sus términos menores que 2, la función tiende a un límite() y si los valores de la sucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto(). Afirmamos que no existe límite en el punto 2 para la función dada.

Ejemplo 2 Calcular el límite

Vamos a proceder como antes con valores de x que se aproximen por la izquierda de 3 y otros valores que se aproximen por la derecha de 3 :

x	2,1	2,9	2,99	2,999	2,9999	2,99999	2,999999	....	3
f(x)	31	4,3333	4,0303	4,0030	4,0003	4,00003	4,000003	....	4

Y para una decreciente:

x	4	3,1	3,01	3,001	3,0001	3,00001	3,000001	....	3
f(x)	2,5	3,7272	3,9703	3,9970	3,9997	3,99997	3,999997	....	4

Como los valores que toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor 4, podemos escribir:

De los dos ejemplos anteriores obtenemos las siguientes conclusiones:

Límite lateral por la izquierda de f(x)

Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a por la izquierda es L, si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x menores que a.

Esto lo escribimos como:

Límite lateral por la derecha de f(x)

Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a por la derecha es L, si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x mayores que a.

Esto lo escribimos como:

El límite de una función si existe es único y únicamente si el límite por la izquierda l_i,, es igual al limite por la derecha l_d

es decir, si ambos límites laterales coinciden.

Ejemplos

1.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

2. función

Como no coinciden los límites laterales,la función no tiene límite en x =0

Propiedades de los límites

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un número real, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

LÍMITE DE	EXPRESIÓN
Una constante	$\lim_{x \to c} k =\, k,\, donde\, k\in \R \,$
La función identidad	$\lim_{x \to c} x = \, c \,$
El producto de una función y una constante	$\lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,$
Una suma	$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,$
Una resta	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un producto	$\lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un cociente	$\lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,$
Una potencia	${\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0$
Un logaritmo	${\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}$
El número e	${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$

FORMAS INDETERMINADAS

Diremos que un límite es determinado si es un número real o bien .En cualquier otro caso se dirá que es indeterminado.

Existen 7 casos de indeterminación (no tienen sentido estos resultados):

Cálculo de límites
1. Límites de funciones polinómicas.
Distinguiremos dos casos:
Cuando Basta calcular f(a).
Ejemplo:
Calcula
Será:

_{= -12}

Cuando

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar.
El límite será ó dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos

2. Límites de funciones racionales.

Si P(x) y Q(x) son funciones polinómicas,se presentan dos casos:

a) Sea :
Si , se tiene que

Ejemplo:

Si , entonces

Si , tenemos el caso de indeterminación 0/0. Podemos simplificar la fracción algebraica factorizando el numerador P(x) o el denominador Q(x) y hacer desaparecer la indeterminación:

Ejemplos:

En este último caso determinaremos el signo del infinito calculando los límites laterales:

ya que si x tiende a 3 pero se conserva menor que 3, el numerador es positivo y el denominador negativo (basta dar a la "x" del denominador el valor 2,99 y se obtiene como valor numérico -0,0099).
pues para x tendiendo a 3 pero conservándose mayor que 3, el numerador es positivo y el denominador también (basta dar a "x" el valor 3,01 para obtener 0,0101).

b)        Sea ahora :
Obtenemos una indeterminación del tipo  que se subsana dividiendo numerador y denominador por el x de mayor grado:
Ejemplo:

De la forma como hemos resuelto el ejemplo se deduce que si los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) son respectivamente

axⁿ y  bx^m, pueden ocurrir tres casos:
  Si n>m el límite es
  Si n=m el límite es
Si n<m el límite es 0
Si la función es suma o resta de dos fracciones algebraicas, puede aparecernos una indeterminación del tipo  que desaparece haciendo previamente la suma o resta.
Ejemplo:

3.      Límite de funciones irracionales.
Sea f(x) una función en la que aparece un radical. Pueden darse dos casos:
a)       Cuando x tiende a "a":
Si al sustituir x por a aparece una indeterminación del tipo 0/0 basta multiplicar y dividir por la expresión conjugada.
Ejemplo:

b)        Cuando x tiende a infinito:
Puede aparecernos una indeterminación del tipo  que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.

       Asíntotas.

Cálculo.
Las asíntotas son líneas rectas a las cuales se aproxima, tanto como queramos, alguna rama de una función.
Pueden haber tres tipos de asíntotas:
a) Verticales:
La recta x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si se cumple que
b) Horizontales:
La recta y=l es una asíntota horizontal de y=f(x) si se cumple que
c) Oblicuas:
La recta y=mx+n es una asíntota oblicua de la función y=f(x) si se cumple que:

Para conocer la posición de la curva con relación a su asíntota calculamos:
¨      ¨        Para las verticales los límites laterales:
y comprobamos si la curva va a  ó a
¨      ¨        Para las horizontales los límites:
y vemos si se acerca a la recta y=l por la derecha o por la izquierda.
¨      ¨        Para las oblicuas calculamos:
y vemos si está por encima o por debajo de la curva.
Las funciones polinómicas carecen de asíntotas.
Las funciones racionales pueden tenerlas de los tres tipos y las podemos calcular así:
Las verticales se obtienen de los valores que anulan el denominador.
Las horizontales existirán si el grado del numerador es menor que el del denominador.
Las oblicuas existirán si el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador.
Ejemplo:
Encontrar y dibujar las asíntotas de la función
Será:
Como , no hay asíntotas horizontales.
Como , la recta x= -1 es una asíntota vertical.
Como  la recta y=x-4 es asíntota oblicua.
La gráfica, junto con las asíntotas es:
Como:

En el primer caso el numerador es positivo y el denominador negativo y en el segundo ambos son positivos, la curva está por la izquierda de la asíntota vertical a la izquierda del -1 y a la derecha por la derecha del -1.

límite 2

Cálculo

Ciclo 6

Límites De Funciones Reales

Consideremos la función ;como la función no está definida para 2, por que se tendría cero(0) en el denominador,entonces tratemos de acercarnos a este valor por la izquierda de 2 para calcular su límite .

Tomemos para x los valores {1, -1,9, -1,99 -1,999, -1,9999-....} y los remplazamos estos valores en la función y veamos a qué valor se aproxima

{3, 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001....} y veamos a qué valor se aproxima la función, para ello construimos la siguiente tabla:

Ejemplo 2 Calcular el límite

Vamos a proceder como antes con valores de x que se aproximen por la izquierda de 3 y otros valores que se aproximen por la derecha de 3 :

Límite lateral por la izquierda de f(x)

Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a por la izquierda es L, si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x menores que a.

Esto lo escribimos como:

Límite lateral por la derecha de f(x)

Decimos que el límite de una función f cuando x tiende a un valor a por la derecha es L, si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a para valores x mayores que a.

Esto lo escribimos como:

El límite de una función si existe es único y únicamente si el límite por la izquierda li, , es igual al limite por la derecha ld

es decir, si ambos límites laterales coinciden.

1.

Propiedades de los límites

Existen 7 casos de indeterminación (no tienen sentido estos resultados):

Cálculo de límites 1. Límites de funciones polinómicas. Distinguiremos dos casos: Cuando Basta calcular f(a). Ejemplo: Calcula Será:

= -12

Cuando

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar. El límite será ó dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos 2. Límites de funciones racionales.

Si P(x) y Q(x) son funciones polinómicas,se presentan dos casos:

a) Sea : Si , se tiene que

Si , entonces

Ejemplos:

En este último caso determinaremos el signo del infinito calculando los límites laterales:

b) Cuando x tiende a infinito: Puede aparecernos una indeterminación del tipo que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado. Asíntotas.

En el primer caso el numerador es positivo y el denominador negativo y en el segundo ambos son positivos, la curva está por la izquierda de la asíntota vertical a la izquierda del -1 y a la derecha por la derecha del -1.

El límite de una función si existe es único y únicamente si el límite por la izquierda l_i,, es igual al limite por la derecha l_d

Cálculo de límites
1. Límites de funciones polinómicas.
Distinguiremos dos casos:
Cuando Basta calcular f(a).
Ejemplo:
Calcula
Será:

_{= -12}

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar.
El límite será ó dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos

2. Límites de funciones racionales.

a) Sea :
Si , se tiene que

b) Cuando x tiende a infinito:
Puede aparecernos una indeterminación del tipo que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.

Asíntotas.