Trigonometría

Trigonometría

Ciclo 5

Triángulos no rectángulos

Wed, Sep 8, 2021 1:07 PM

En esta unidad se solucionaran   triángulos acutángulos utiliando la ley de los senos y la ley de los cosenos.

 

LEY DE LOS SENOS

La ley de los senos  se aplica para los triángulos oblicuángulos es decir triángulos no rectángulos.

Su enunciado dice:

En cualquier triángulo, la medida de los lados es directamente proporcional a los senos de los ángulos opuestos. 

Simbólicamente:

Para resolver estos triángulos debemos conocer por lo menos  tres datos del triángulo:

Dos ángulos y cualquier lado

Dos lados y un ángulo (excepto el formado por los lados conocidos)
 
EJERCICIOS Y APLICACIONES
 
 
DATOS                          INCOGNITAS
A =35°                             B = ?
b = 45m                          C = ?
a =35m                           c = ?
 
Se selecciona la igualdad donde se conozca 3 de los 4 datos, en este caso tse toma la igualdad:
 
,       Reemplazamos datos se tiene:
 
 

Para hallar el ángulo C se tiene:

A+B+C= 180°, Luego     C= 180°- A - B

                                         C  = 180°- 35°- 47°

                                         C = 180°- 82°

                                          C= 98°

Se halla ahora el valor del lado c con la igualdad

  SITUACIÓN PROBLÉMICA

 

Don Guillermo trabaja en la empresa telefónica de Villavicencio  y desea saber la longitud  de los cables que sostiene una antena en un barrio de la ciudad, si sabe que las bases de los  cables están atadas al suelo y separados 80 metros  formando ángulos de  40° y 52°¿Será posible que aplicando la ley de los senos don Guillermo pueda conocer la longitud de esos cables?

SOLUCIÓN

 

 
 
 
LEY DE LOS COSENOS
 
 

LEY DE LOS COSENOS

      En todo triángulo, el cuadrado de un lado es equivalente  a la suma de los cuadrados  de los otros dos, menos su  doble producto  por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

 
 

La ley de los cosenos permite calcular:

La medida de un lado cualquiera de un triángulo, conocidas las medidas de los otros dos y el ángulo formado entre ellos.                    

                a²= b²+ c² - 2bc cosA                      

                b²= a²+ c²- 2ac cosB

                c²= a² + b² - 2ab cos C

 
La amplitud de cualquier ángulo interior si se conocen la longitud de los tres lados 
 
 
 

EJERCICIOS Y APLICACIONES

 

1.Resolver  el triángulo ABC, si se sabe  que a = 6cm, b=8,5 cm y  el ángulo C= 56°

     

      Solución:

      Se dibuja el triángulo de acuerdo a la información

Luego A = cosˉ¹(0,72) = 44°,  Por lo tanto     B= 180°-(56°+44°)= 180°- 100°= 80°

 

Un avión vuela a una distancia de 250km, de la ciudad A, a la ciudad B. luego cambia su rumbo 50° y se dirige a la ciudad C, que está a 180km. ¿Qué distancia hay entre las ciudades A y C?.  

SOLUCIÓN:
Se halla el lado B : 
b²=a²+c²-2ac
CosB 
b²=250²+180²-2(250)(180) Cos130° 
b²=62500+32400-90000(-0.6428) 
b²=94900 - 57850
b²= 32150    luego b = 179,3

Por lo tanto la distancia entre  la ciudad A y la C es de 179,3 kilómetros

 

SITUACIÓN PROBLÉMICA

Don Pedro quiere saber el  ancho de la laguna que se encuentra en su finca, pero es pantanosa y difícil de atravesarla.

¿Será posible que con ayuda del teorema del coseno se puede encontrar esta medida?

solución
 

Don Pedro coloca tres estacas en los puntos A,B y C ,luego mide 34m de  A hasta C, y de C a B mide 28m  formándose un ángulo de 48°.

Con estos datos se aplica el teorema del coseno.

c² = a² + b² - 2ab cos C

c² = (34m)² + (28m)² - 2(34m)(28m) cos48°

C² = 1156m² + 784m² - 1904m²(0.67)

c² = 1940m² – 1275,6m²

c² = 664,4m²    →      C = 25,7m

El ancho de  la laguna es de 25,7 metros

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad

Taller de los teoremas del seno y coseno

1. Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 del mismo sitio, sus trayectos forman un ángulo de 42°, Cual es la distancia que separa la casa de Mauricio de la casa de Claudia?

2.En el triángulo  ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

3. Un avión se encuentra en un punto A  y es observado por dos estaciones terrestres ubicados en los puntos B y C.

¿ A que distancia se encuentra el avión de la estación B?

 

 

4. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: c = 28 cm, <A = 69° y <B = 35°