Triángulos no rectángulos
En esta unidad se solucionaran triángulos acutángulos utiliando la ley de los senos y la ley de los cosenos.
LEY DE LOS SENOS
La ley de los senos se aplica para los triángulos oblicuángulos es decir triángulos no rectángulos.
Su enunciado dice:
En cualquier triángulo, la medida de los lados es directamente proporcional a los senos de los ángulos opuestos.
Simbólicamente:
Para resolver estos triángulos debemos conocer por lo menos tres datos del triángulo:
•Dos ángulos y cualquier lado
, Reemplazamos datos se tiene:
Para hallar el ángulo C se tiene:
A+B+C= 180°, Luego C= 180°- A - B
C = 180°- 35°- 47°
C = 180°- 82°
C= 98°
Se halla ahora el valor del lado c con la igualdad
Don Guillermo trabaja en la empresa telefónica de Villavicencio y desea saber la longitud de los cables que sostiene una antena en un barrio de la ciudad, si sabe que las bases de los cables están atadas al suelo y separados 80 metros formando ángulos de 40° y 52°¿Será posible que aplicando la ley de los senos don Guillermo pueda conocer la longitud de esos cables?
SOLUCIÓN
LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
La ley de los cosenos permite calcular:
a²= b²+ c² - 2bc cosA
b²= a²+ c²- 2ac cosB
c²= a² + b² - 2ab cos C
EJERCICIOS Y APLICACIONES
Solución:
Se dibuja el triángulo de acuerdo a la información
Luego A = cosˉ¹(0,72) = 44°, Por lo tanto B= 180°-(56°+44°)= 180°- 100°= 80°
SOLUCIÓN:
Se halla el lado B :
b²=a²+c²-2ac CosB
b²=250²+180²-2(250)(180) Cos130°
b²=62500+32400-90000(-0.6428)
b²=94900 + 57600
b²= 152500 luego b = 390
Por lo tanto la distancia entre la ciudad A y la C es de 390.5 kilómetros
SITUACIÓN PROBLÉMICA
Don Pedro quiere saber el ancho de la laguna que se encuentra en su finca, pero es pantanosa y difícil de atravesarla.
¿Será posible que con ayuda del teorema del coseno se puede encontrar esta medida?
Don Pedro coloca tres estacas en los puntos A,B y C ,luego mide 34m de A hasta C, y de C a B mide 28m formándose un ángulo de 48°.
Con estos datos se aplica el teorema del coseno.
c² = a² + b² - 2ab cos C
c² = (34m)² + (28m)² - 2(34m)(28m) cos48°
C² = 1156m² + 784m² - 1904m²(0.67)
c² = 1940m² – 1275,6m²
c² = 664,4m² → C = 25,7m
El ancho de la laguna es de 25,7 metros
Taller de los teoremas del seno y coseno
1. Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 del mismo sitio, sus trayectos forman un ángulo de 42°, Cual es la distancia que separa la casa de Mauricio de la casa de Claudia?
2.En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes
3. Un avión se encuentra en un punto A y es observado por dos estaciones terrestres ubicados en los puntos B y C.
¿ A que distancia se encuentra el avión de la estación B?
4. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: c = 28 cm, <A = 69° y <B = 35°
