Triángulos no rectángulos
En esta unidad se solucionaran triángulos acutángulos utiliando la ley de los senos y la ley de los cosenos.
LEY DE LOS SENOS
La ley de los senos se aplica para los triángulos oblicuángulos es decir triángulos no rectángulos.
Su enunciado dice:
En cualquier triángulo, la medida de los lados es directamente proporcional a los senos de los ángulos opuestos.
Simbólicamente:
Para resolver estos triángulos debemos conocer por lo menos tres datos del triángulo:
•Dos ángulos y cualquier lado
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Para hallar el ángulo C se tiene:
A+B+C= 180°, Luego C= 180°- A - B
C = 180°- 35°- 47°
C = 180°- 82°
C= 98°
Se halla ahora el valor del lado c con la igualdad
Don Guillermo trabaja en la empresa telefónica de Villavicencio y desea saber la longitud de los cables que sostiene una antena en un barrio de la ciudad, si sabe que las bases de los cables están atadas al suelo y separados 80 metros formando ángulos de 40° y 52°¿Será posible que aplicando la ley de los senos don Guillermo pueda conocer la longitud de esos cables?
SOLUCIÓN
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LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
La ley de los cosenos permite calcular:
a²= b²+ c² - 2bc cosA
b²= a²+ c²- 2ac cosB
c²= a² + b² - 2ab cos C
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EJERCICIOS Y APLICACIONES
Solución:
Se dibuja el triángulo de acuerdo a la información
Luego A = cosˉ¹(0,72) = 44°, Por lo tanto B= 180°-(56°+44°)= 180°- 100°= 80°
SOLUCIÓN:
Se halla el lado B :
b²=a²+c²-2ac CosB
b²=250²+180²-2(250)(180) Cos130°
b²=62500+32400-90000(-0.6428)
b²=94900 + 57600
b²= 152500 luego b = 390
Por lo tanto la distancia entre la ciudad A y la C es de 390.5 kilómetros
SITUACIÓN PROBLÉMICA
Don Pedro quiere saber el ancho de la laguna que se encuentra en su finca, pero es pantanosa y difícil de atravesarla.
¿Será posible que con ayuda del teorema del coseno se puede encontrar esta medida?
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Don Pedro coloca tres estacas en los puntos A,B y C ,luego mide 34m de A hasta C, y de C a B mide 28m formándose un ángulo de 48°.
Con estos datos se aplica el teorema del coseno.
c² = a² + b² - 2ab cos C
c² = (34m)² + (28m)² - 2(34m)(28m) cos48°
C² = 1156m² + 784m² - 1904m²(0.67)
c² = 1940m² – 1275,6m²
c² = 664,4m² → C = 25,7m
El ancho de la laguna es de 25,7 metros
Taller de los teoremas del seno y coseno
1. Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 del mismo sitio, sus trayectos forman un ángulo de 42°, Cual es la distancia que separa la casa de Mauricio de la casa de Claudia?
2.En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes
3. Un avión se encuentra en un punto A y es observado por dos estaciones terrestres ubicados en los puntos B y C.
¿ A que distancia se encuentra el avión de la estación B?
4. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: c = 28 cm, <A = 69° y <B = 35°