Probabilidad condicional

La probabilidad condicional es la posibilidad de ocurrencia de un cierto evento, dado que ocurre otro a modo de condición. Esta información adicional puede modificar (o tal vez no) la percepción de que algo sucederá.

Por ejemplo, podemos preguntarnos: “¿Cuál es la probabilidad de que llueva hoy, dado que hace dos días que no llueve?”. El evento del cual queremos conocer la probabilidad es el de que llueva hoy, y la información adicional que condicionaría la respuesta es que “hace dos días que no llueve”.

La probabilidad de que llueva hoy dado que llovió ayer también es un ejemplo de probabilidad condicional.

 

Sea un espacio probabilístico compuesto por Ω (espacio muestral), ℬ (los eventos aleatorios) y P (la probabilidad de cada suceso), más los eventos A y B que pertenecen a ℬ.

La probabilidad condicionada de que ocurra A, dado que ocurrió B, que se denota como P (A│B), se define de esta forma:

P (A│B) = P (A∩B) / P(B)

Donde: P(A) es la probabilidad de ocurrencia de A, P(B) es la probabilidad del evento B y es distinta de 0, y P(A∩B) es la probabilidad de la intersección entre A y B, es decir, la probabilidad de que ambos eventos ocurran (probabilidad conjunta).

Esta es una expresión para el teorema de Bayes aplicado a dos eventos, propuesto en 1763 por el teólogo y matemático inglés Thomas Bayes.

Propiedades

Toda probabilidad condicional está comprendida entre 0 y 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

La probabilidad de que el evento A ocurra, dado que dicho evento ocurre, evidentemente es 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P(A) = P(A) /P(A) = 1

-Si dos eventos son excluyentes, esto es, eventos que no pueden suceder simultáneamente, entonces la probabilidad condicional de que uno de ellos suceda es 0, ya que la intersección es nula:

P (A│B) = P (A∩B) / P(B) = 0 /P(B) = 0

-Si B es un subconjunto de A, entonces la probabilidad condicional también es 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P(A) = 1

Importante

P (A│B) generalmente no es igual a P (B│A), por lo tanto, hay que cuidar de no intercambiar los eventos al momento de encontrar la probabilidad condicional.

Regla general de la multiplicación

Muchas veces se desea encontrar la probabilidad conjunta P (A∩B), en vez de la probabilidad condicional. Entonces, mediante el siguiente teorema se tiene:

P (A∩B) = P (A│B). P(B)

El teorema se puede extender para tres eventos A, B y C:

P (A∩B∩C) = P(A y B y C)= P(A) · P(B│A) · P(C│A∩B)

Y también para varios eventos, como A₁, A₂, A₃ y más, se puede expresar del siguiente modo:

P (A₁∩ A₂ ∩ A₃…∩ A_n) = P(A₁) . P (A₂│A₁). P(A₃│A₁∩ A₂)…P(A_n││A₁∩ A₂∩… A_n-1)

Cuando es el caso de eventos que ocurren en secuencia y a través de distintas etapas, es conveniente organizar los datos en un diagrama o una tabla. Ello facilita visualizar las opciones de llegar a la probabilidad solicitada.

Ejemplos de ello son el diagrama de árbol y la tabla de contingencia. A partir de uno de ellos se puede construir el otro.

Ejemplos de probabilidad condicional

Veamos algunas situaciones en las cuales las probabilidades de un evento se alteran por la ocurrencia de otro:

Ejemplo 1

En una tienda de dulces se venden dos tipos de pasteles: de fresa y de chocolate. Al registrar las preferencias de 50 clientes de ambos sexos, se determinaron los siguientes valores:

27 mujeres, de las cuales 11 prefieren pastel de fresa y 16 de chocolate.

23 hombres: 15 escogen chocolate y 8 fresa.

La probabilidad de que un cliente escoja un pastel de chocolate se puede determinar aplicando la regla de Laplace, según la cual la probabilidad de un evento cualquiera es:

P= número de eventos favorables/número total de eventos

En tal caso, de 50 clientes, un total de 31 prefieren el chocolate, de manera que la probabilidad sería P =31/50 = 0.62. Es decir, el 62% de los clientes prefieren pastel de chocolate.

Pero ¿sería diferente si el cliente es una mujer? Este es un caso de probabilidad condicional.

Tabla de contingencia

Mediante una tabla de contingencia como esta se visualizan fácilmente los totales:

Luego se observan los casos favorables y se aplica la regla de Laplace, pero antes definimos los eventos:

B es el evento “cliente mujer”.

A es el evento “preferir pastel de chocolate” siendo mujer.

Nos dirigimos a la columna etiquetada “mujeres” y allí vemos que el total es 27.

Después se busca el caso favorable en la fila “chocolate”. Hay 16 eventos de estos, por lo tanto la probabilidad buscada es, directamente:

P (A│B) =16/27 = 0.5924

Un 59.24 % de los clientes mujeres prefieren pastel de chocolate.

Este valor coincide cuando lo contrastamos con la definición dada inicialmente de probabilidad condicional:

P (A│B) = P (A∩B) / P(B)

Nos aseguramos mediante la regla de Laplace y los valores de la tabla:

P(B) = 27 /50

P(A∩B) = 16/50

Donde P(A∩B) es la probabilidad de que el cliente prefiera chocolate y sea mujer. Ahora se sustituyen los valores:

P (A│B) = P (A∩B) / P(B) = (16/50) / (27/50) = 16/27=0.5924.

Y queda comprobado que el resultado es el mismo.

– Ejemplo 2

En este ejemplo se aplica la regla de la multiplicación. Supóngase que en la exhibición de una tienda hay pantalones en tres tallas: pequeños, medianos y grandes.

En un lote con un total de 24 pantalones, de los cuales hay 8 de cada talla y todos están mezclados ¿cuál sería la probabilidad de extraer dos de ellos y que ambos fueran pequeños?

Está claro que la probabilidad de extraer un pantalón chico en el primer intento es 8/24 = 1/3. Ahora bien, la segunda extracción está condicionada al primer evento, puesto que, al sacar un pantalón, ya no quedan 24, sino 23. Y si se saca un pantalón pequeño, quedan 7 en vez de 8.

El evento A es sacar un pantalón pequeño, habiendo sacado otro en el primer intento. Y el evento B es el del pantalón pequeño a la primera. Por lo tanto:

P(B) = 1/3 ; P (A│B) = 7/24

Finalmente, mediante la regla de la multiplicación:

P (A∩B) = (7/24).(1/3) = 7 /72 = 0.097

Ejercicio

En un estudio de la puntualidad en los vuelos aéreos comerciales, se dispone de los siguientes datos:

P (B) = 0.83, es la probabilidad de que un avión despegue puntualmente.

P (A) = 0.81, es la probabilidad de aterrizaje a tiempo.

P (B∩A) = 0.78 es la probabilidad de que el vuelo llegue a tiempo despegando puntual.

Se pide calcular:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el avión aterrice puntualmente dado que despegó a tiempo?

b) La probabilidad anterior ¿es la misma que la probabilidad de que haya salido a tiempo si logró aterrizar puntualmente?

c) Y por último: ¿cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo dado que no salió puntual?

 La puntualidad en los vuelos comerciales es importante, ya que los retrasos generan pérdidas millonarias.

 

Solución a

Para responder a la pregunta se utiliza la definición de probabilidad condicional:

P (A│B) = P (A∩B) / P(B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

Solución b

En este caso se intercambian los eventos en la definición:

P (B│A) = P (A∩B) / P(A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

Nótese que esta probabilidad es ligeramente distinta de la anterior, tal como señalamos previamente.

Solución c

La probabilidad de no salir puntual es 1 – P(B) = 1 – 0,83 = 0.17, la llamaremos P(B^C), porque es el evento complementario a despegar puntual. La probabilidad condicional buscada es:

P (A│B^C) = P (A∩B^C) / P(B^C)

Por otro lado:

P (A∩B^C) = P(aterrizaje a tiempo) – P(aterrizaje a tiempo y despegar puntual) = 0.81-0.78 = 0.03

En este caso la probabilidad condicional buscada es:

P (A│B^C) = 0.03 / 0.17 = 0.1765